Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=8x-x^2-7, y=0

Answer 1

Ответ:

36

Объяснение:

y=-x^2+8x-7,  - парабола ветви направлены вниз

решив кв. ур-ние по Виету найдем корни х=1 и х=7

в этих точках парабола пересекает ось у, значит площадь равна

∫(-x^2+8x-7)dx = -x^3/3+8x^2/2-7x+C = -x^3/3+4x^2-7x+C

т.к. заданы ограничения, то это м.б. опред интеграл от 1 до 7

по ф-ле Ньютона-Лейбница, подсавляем корни 1 и 7

-(7^3/3- 1^3/3)+4(7^2-1^2)-7(7-1) = - (343/3-1/3) +4 (49-1) - 7*6 = -114+192-42 = 36

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо вычислить интеграл от разности уравнений этих кривых.

Даны две кривые:

1. y = 8x - x^2 - 7
2. y = 0 (это ось x)

Нам нужно найти точки пересечения этих кривых, чтобы определить пределы интегрирования. Для этого приравняем уравнения и найдем значения x:

8x - x^2 - 7 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, приведем его к стандартному виду и решим:

x^2 - 8x + 7 = 0

Факторизуем:

(x - 7)(x - 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 7 и x = 1.

Теперь найдем пределы интегрирования:

• От x = 1 до x = 7, так как это интервал, на котором фигура ограничена кривыми.

Теперь вычислим площадь фигуры:

Площадь = ∫(от 1 до 7) (верхняя кривая - нижняя кривая) dx

Площадь = ∫(от 1 до 7) [(8x - x^2 - 7) - 0] dx

Площадь = ∫(от 1 до 7) (8x - x^2 - 7) dx

Теперь проинтегрируем:

Площадь = [4x^2 - (x^3/3) - 7x] (от 1 до 7)

Площадь = [4 * 7^2 - (7^3/3) - 7 * 7] - [4 * 1^2 - (1^3/3) - 7 * 1]

Площадь = [196 - (343/3) - 49] - [4 - (1/3) - 7]

Площадь = [196 - 114.33 - 49] - [4 - 0.33 - 7]

Площадь = [32.67] - [-3.33]

Площадь ≈ 36.00

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 8x - x^2 - 7 и y = 0, составляет приблизительно 36 квадратных единиц.