Question

Решить уравнение: sin2x=cos2x-sin^2x+1 ( sin^2x - синус квадрат x)

Answer 1

Sin2x=cos2x-sin²x+1

2sinxcosx=cos²x-sin²x-sin²x+(sin²x+cos²x)

2sinxcosx=2cos²x-sin²x ; :cos²x≠0

2tgx=2-tg²x
tg²x+2tgx-2=0
tgx=t
t²+2t-2=0
D=4+8=12=4*3
t=(-2±2√3)/2=(-1±√3)
t1=-(1+√3);t2=-1+√3
1)tgx=-(1+√3)
x=-arctg(1+√3)+πk;k€Z

2)tgx=(√3-1)
x=arctg(√3-1)+πk;k€Z

Answer 2

Для решения уравнения sin^2(x) = cos^2(x) - sin^2(x) + 1 сначала приведем его к более простому виду, используя тригонометрические тождества:

1. Тригонометрическое тождество: cos^2(x) = 1 - sin^2(x).
2. Подставим это тождество в исходное уравнение:

sin^2(x) = (1 - sin^2(x)) - sin^2(x) + 1.

Теперь решим уравнение:

sin^2(x) = 1 - sin^2(x) - sin^2(x) + 1,

Упростим выражение:

sin^2(x) = 2 - 2sin^2(x).

Теперь приведем всё к одной стороне уравнения:

2sin^2(x) + sin^2(x) - 2 = 0,

3sin^2(x) - 2 = 0.

Теперь выразим sin^2(x):

sin^2(x) = 2/3.

Чтобы найти значения x, возьмем квадратный корень от обеих сторон:

sin(x) = ±√(2/3).

Так как sin(x) имеет период 2π, то для каждого значения sin(x) существует два соответствующих значения x.

Таким образом, решения уравнения:

1. sin(x) = √(2/3), тогда x = arcsin(√(2/3)) + 2πk1 или x = π - arcsin(√(2/3)) + 2πk2, где k1 и k2 - целые числа, которые могут принимать любое значение.
2. sin(x) = -√(2/3), тогда x = arcsin(-√(2/3)) + 2πk3 или x = π - arcsin(-√(2/3)) + 2πk4, где k3 и k4 - целые числа, которые могут принимать любое значение.