Question

Докажите, что число 117^3-4^9 кратно 53.Позязя помогите, буду благодарен)

Answer 1

117³ - 4⁹ = 117³ - (4³)³ = 117³ - 64³ = (117 - 64)(117² + 117 * 64 + 64²) =

= 53 * (117² + 117 * 64 * 64²)

Если один из множителей кратен числу 53, то и всё произведение кратно числу 53 .

53 делится на 53, а результат в скобке можно не считать.

Answer 2

Ответ:

117^3-4^9 = (117)^3-(4^3)^3=(117-64)×(117^2+117×64×16)=53×(...)

Answer 3

Для того чтобы доказать, что число $117^3 - 4^9$ кратно 53, мы можем воспользоваться свойствами арифметики и модульных операций.

Мы хотим доказать, что $117^3 - 4^9$ делится на 53, что эквивалентно утверждению:

$117^3 \equiv 4^9 \ (\text{mod}\ 53)$

Для доказательства этого факта, давайте разберемся поэтапно.

1. Вычислим значения $117^3$ и $4^9$.

$117^3 = 117 \times 117 \times 117$

$4^9 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4$

2. Вычислим остатки от деления $117^3$ и $4^9$ на 53.

Для этого возьмем остатки от деления 117 и 4 на 53 и возводим их в третью и девятую степень соответственно (используем малую теорему Ферма):

$117 \equiv 11 \ (\text{mod}\ 53)$ $4 \equiv 4 \ (\text{mod}\ 53)$

Теперь возведем остатки в степень:

$11^3 \equiv 1331 \equiv 17 \ (\text{mod}\ 53)$ $4^9 \equiv 262144 \equiv 17 \ (\text{mod}\ 53)$

Мы получили, что как $117^3$ так и $4^9$ имеют остаток 17 при делении на 53.

3. Проверим, что $117^3 - 4^9$ делится на 53:

$117^3 - 4^9 \equiv 17 - 17 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 53)$

Таким образом, получается, что $117^3 - 4^9$ делится на 53, что и требовалось доказать.