Question

Y=x^2 и y=6-x Найдите площадь фигуры ограниченной линиями

Answer 1

Ответ:$20*\frac{5}{6}$

Объяснение: Нужно вычесть площадь фигуры под графиком функции х^2 из площади фигуры под графиком функции 6-х, так как представив их на плоскости видим, что первый график ниже второго. Чтобы найти пределы интегрирования, решим уравнение x^2=6-x. Получаем х=-3 и 2. Вычисляем интегралы (см. приложение) и ищем ответ: 20*$\frac{5}{6}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, сначала нужно найти точки пересечения этих кривых. Затем, используя интеграл, мы можем найти площадь между кривыми в пределах этих точек пересечения.

1. Найдем точки пересечения двух кривых:

Приравняем уравнения, чтобы найти значения x, где y равны:

y = x^2 y = 6 - x

Приравняем: x^2 = 6 - x

Перенесем все в левую часть уравнения: x^2 + x - 6 = 0

Теперь найдем значения x с помощью факторизации или квадратного корня.

(x + 3)(x - 2) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = -3 и x = 2.

2. Найдем значения y для этих x, используя одно из уравнений: При x = -3, y = (-3)^2 = 9. При x = 2, y = 6 - 2 = 4.

Теперь у нас есть две точки пересечения: (-3, 9) и (2, 4).

3. Найдем площадь между кривыми в пределах этих точек пересечения, используя интеграл:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя кривая - нижняя кривая) dx, где a и b - это значения x точек пересечения (a = -3, b = 2).

Площадь = ∫[-3, 2] ((6 - x) - x^2) dx

Теперь проинтегрируем:

Площадь = ∫[-3, 2] (6 - x - x^2) dx

Площадь = [6x - (x^2/2) - (x^3/3)] от -3 до 2

Площадь = [(62 - (2^2/2) - (2^3/3)) - (6(-3) - ((-3)^2/2) - ((-3)^3/3))]

Площадь = [(12 - 2 - 8/3) - (-18 - 9/2 + 27/3)]

Площадь = [(10 - 8/3) - (-18 - 9/2 + 9)]

Площадь = [10 - 8/3 + 18 + 9/2 - 9]

Площадь = 18 - 8/3 + 9/2

Теперь найдем общий знаменатель и выразим все дроби по нему:

Площадь = (54 - 16 + 27)/6

Площадь = 65/6

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = 6 - x, равна 65/6 квадратных единиц.