Question

Решить задачу Коши: yy'=1+x^2 , y(1)=1

Answer 1

yy'=1+x² , y(1)=1

ydy = (1 + x²)dx

∫ydy = ∫(1 + x²)dx

0,5y² = x + x³/3 + C

0,5 = 1 + 1/3 + C

C = -5/6

0,5y² = x + x³/3 - 5/6

y² = 2x + 2x³/3 - 5/3

y = √(2x + 2x³/3 - 5/3)

Answer 2

Для решения задачи Коши нужно найти функцию y(x), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению yy' = 1 + x^2 и начальному условию y(1) = 1.

Для решения данного уравнения можно использовать метод разделения переменных. Разделим уравнение на y:

yy' / y = (1 + x^2) / y.

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения по переменной x:

∫(1/y) dy = ∫(1 + x^2) dx.

Интегрируем левую часть:

∫(1/y) dy = ln|y| + C1,

где C1 - постоянная интегрирования.

Интегрируем правую часть:

∫(1 + x^2) dx = x + (x^3)/3 + C2,

где C2 - постоянная интегрирования.

Таким образом, получаем уравнение:

ln|y| + C1 = x + (x^3)/3 + C2.

Теперь объединим постоянные интегрирования C1 и C2 в одну константу C:

ln|y| = x + (x^3)/3 + C.

Теперь найдем выражение для y:

|y| = e^(x + (x^3)/3 + C).

Учитывая, что экспонента e^C - это просто новая константа, назовем ее K:

|y| = Ke^(x + (x^3)/3).

Так как y(1) = 1, то у нас есть два случая:

1. Когда y > 0:

y = Ke^(x + (x^3)/3).

Подставим начальное условие y(1) = 1:

1 = Ke^(1 + (1^3)/3).

1 = Ke^(4/3).

K = e^(-4/3).

Таким образом, когда y > 0:

y = e^(-4/3) * e^(x + (x^3)/3).

y = e^(x + (x^3)/3 - 4/3).

2. Когда y < 0:

y = -Ke^(x + (x^3)/3).

Подставим начальное условие y(1) = 1:

1 = -Ke^(1 + (1^3)/3).

1 = -Ke^(4/3).

K = -e^(-4/3).

Таким образом, когда y < 0:

y = -e^(-4/3) * e^(x + (x^3)/3).

y = -e^(x + (x^3)/3 - 4/3).

Итак, мы получили два решения задачи Коши:

1. y = e^(x + (x^3)/3 - 4/3), когда y > 0.

2. y = -e^(x + (x^3)/3 - 4/3), когда y < 0.

Обратите внимание, что в точке x = 1 может быть разрыв функции y(x) из-за модуля в начальном условии, поэтому нужно уточнить решение в окрестности этой точки. Однако, за пределами окрестности x = 1 решение будет однозначным.