Question

Найдите наибольшее значение функции y=1/3x^3+1/2x^2-6x на отрезке [-1;3]

Answer 1

$y=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-6x$

Найдём производную :

$y'=\frac{1}{3}(x^{3})'+\frac{1}{2}(x^{2})'-6(x)'=\frac{1}{3}*3x^{2}+\frac{1}{2}*2x-6=x^{2}+x-6$

Найдём критические точки :

x² + x - 6 = 0

x₁ = - 3        x₂ = 2

x = - 3 не принадлежит отрезку  [ - 1 ; 3]

Найдём значения функции в критической точке x = 2 и на концах отрезка и сравним их .

$y(-1)=\frac{1}{3}*(-1)^{3}+\frac{1}{2}*(-1)^{2}-6*(-1)=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+6=6\frac{1}{6}\\\\y(2)=\frac{1}{3}*2^{3}+\frac{1}{2}*2^{2}-6*2=\frac{8}{3}+2-12=2\frac{2}{3}-10=-7\frac{1}{3}\\\\y(3)=\frac{1}{3}*3^{3}+\frac{1}{2}*3^{2}-6*3=9+4,5-18=13,5-18=-4,5$

Ответ : наибольшее значение функции равно 6 1/6

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке, необходимо найти её максимальное значение на этом отрезке. Существует несколько способов решения этой задачи, одним из них является нахождение критических точек и точек экстремума функции.

1. Найдем производную функции y по x: y = (1/3)x^3 + (1/2)x^2 - 6x y' = d/dx[(1/3)x^3 + (1/2)x^2 - 6x] y' = x^2 + x - 6

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: x^2 + x - 6 = 0

   Решим уравнение: x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0 Таким образом, получаем две критические точки: x = -3 и x = 2.

3. Теперь проверим значения функции в критических точках и на концах отрезка [-1; 3]:

   • Подставим x = -3: y = (1/3)(-3)^3 + (1/2)(-3)^2 - 6(-3) = -9 + 4.5 + 18 = 13.5

   • Подставим x = 2: y = (1/3)(2)^3 + (1/2)(2)^2 - 6(2) = 8/3 + 2 - 12 = -2/3

   • Подставим x = -1: y = (1/3)(-1)^3 + (1/2)(-1)^2 - 6(-1) = -1/3 + 1/2 + 6 = 6 + 1/6

   • Подставим x = 3: y = (1/3)(3)^3 + (1/2)(3)^2 - 6(3) = 9 + 9/2 - 18 = -9/2

4. Находим наибольшее значение функции, сравнив значения в критических точках и на концах отрезка: Наибольшее значение функции на отрезке [-1; 3] равно 13.5 и достигается при x = -3.

Таким образом, наибольшее значение функции y на отрезке [-1; 3] равно 13.5.