Question

(4x+a)lg(x+2)=0 Найдите все значения параметра а,при котором у уравнения будет одно решение

Answer 1

(4х + а)•lg(x + 2) = 0

Ограничение: х + 2 > 0 ⇔ х > - 2

1) lg(x + 2) = 0 ⇔ x + 2 = 1 ⇔ x = - 1

Один корень по факту есть. Значит, необходимо другой корень исключить по ограничению

2) 4х + а = 0 ⇔ х = - а/4

Если данный корень будет ≤ - 2 , то он исключится в силу ограничения и останется только единственный корень х = - 1

х ≤ - 2

- а/4 ≤ - 2

- а ≤ - 8

а ≥ 8

3) Не забываем про случай совпадения корней:

Корней два, но они совпадают.

х + 2 = 1  ⇔  х = - 1

4х + а = 0 ⇔ х = - а/4  ⇔ - а/4 = - 1  ⇔ а = 4

ОТВЕТ:  {4} U [ 8 ; + ∞ )

Answer 2

Для уравнения $(4x + a) \log(x + 2) = 0$ чтобы имелось только одно решение, логарифм $(x + 2)$ должен быть равен нулю, так как иначе множитель $(4x + a)$ обратился бы в ноль, что дало бы дополнительные решения.

Таким образом, у нас есть одно решение, если $(x + 2) = 0$. Решим уравнение:

$x + 2 = 0$ $x = -2$

Теперь заметим, что логарифм $\log(x + 2)$ определен только для $x + 2 > 0$, то есть $x > -2$. Это означает, что решение $x = -2$ не подходит, и это единственное решение может быть, только если логарифм обращается в ноль.

Таким образом, для уравнения $(4x + a) \log(x + 2) = 0$ с одним решением параметр $a$ должен быть таким, что логарифм обращается в ноль, то есть:

$\log(x + 2) = 0$

Логарифм обращается в ноль только при $x + 2 = 1$, так как $log(1) = 0$. Таким образом, чтобы у уравнения было одно решение, должно быть:

$x + 2 = 1$ $x = -1$

Теперь мы знаем, что единственное решение будет $x = -1$. Подставим его обратно в уравнение, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$:

$(4x + a) \log(x + 2) = (4(-1) + a) \log((-1) + 2)$ $(-4 + a) \log(1) = (-4 + a) \cdot 0 = 0$

Так как нам нужно, чтобы уравнение имело только одно решение, параметр $a$ может быть любым, так как он исчезает из уравнения при умножении на ноль.

Итак, для одного решения уравнения $(4x + a) \log(x + 2) = 0$, параметр $a$ может быть любым действительным числом.