Question

А) Решите уравнение cos(2x+п/2)+sinx=0 б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3п/2; 5п/2]

Answer 1

Ответ:

Корни: 2П, 7/3П,  5/3П

Объяснение:

cos(2x+П/2) + sin x = 0

cos 2x  * cos П/2 - sin 2x * sin П/2 + sin x = 0

Заметим, что cos П/2 = 0, а sin П/2 = 1

sin x  - sin 2x = 0

sin x - 2 * sin x * cos x = 0

sin x * (1 - 2 * cos x) = 0

Рассмотрим два случая:

1)

sin x = 0.

x = П*n, где n принадлежит множеству целых чисел.

2)

1 - 2 * cos x = 0

1 = 2 * cos x

1 / 2 = cos x

x1 = П / 3 + 2Пk, где k принадлежит множеству целых чисел.

x2 = - П / 3 + 2Пr, где r принадлежит (ВНЕЗАПНО) множество целых чисел.

Осталось отобрать корни на промежутке [1.5П; 2.5П]

Подставляем  во все наши 3 получившихся корня n = 1.

Получились корни:

"корень 1" = 2П

"корень 2" = 7/3 П

"корень 3" = 5/3 П

Вот и всё.

Answer 2

Чтобы решить уравнение cos(2x + π/2) + sin(x) = 0, давайте начнем с первой части уравнения и найдем значение x:

а) Решение уравнения cos(2x + π/2) + sin(x) = 0:

Используем тригонометрические тождества для упрощения выражения. Начнем с упрощения cos(2x + π/2):

cos(2x + π/2) = cos(2x)cos(π/2) - sin(2x)sin(π/2) = -sin(2x)

Теперь подставим обратно в исходное уравнение:

-sin(2x) + sin(x) = 0

Теперь объединим sin(2x) и sin(x) на одной стороне уравнения:

sin(x) = sin(2x)

Для нахождения значений x, при которых выполняется это уравнение, воспользуемся тригонометрическим тождеством для синуса двойного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь уравнение примет вид:

sin(x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь рассмотрим два случая:

1. sin(x) = 0:

Это даёт нам одно решение: x = 0.

2. sin(x) ≠ 0:

Для этого случая мы можем разделить уравнение на sin(x):

1 = 2cos(x)

cos(x) = 1/2

Теперь найдем все значения x на промежутке [3π/2; 5π/2], для которых cos(x) = 1/2:

x = π/3 и x = 5π/3

б) Найдем все корни уравнения на интервале [3π/2; 5π/2]:

У нас есть два корня на этом интервале: x = π/3 и x = 5π/3.