Question

Помогите решить: log₂(x -1) + log₂(x² +1/(x-1)) ≤ 2 log₂((x²+x-1)/2)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

ответ на фото\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте последовательно выполним следующие шаги:

1. Исключим логарифмы из неравенства.
2. Разрешим неравенство относительно переменной x.

Давайте начнем:

1. Исключение логарифмов: Используем свойство логарифма: log₂(a) + log₂(b) = log₂(a * b) и log₂(a) - log₂(b) = log₂(a / b).

Перепишем левую часть неравенства:

log₂(x - 1) + log₂(x² + 1/(x - 1)) = log₂((x - 1) * (x² + 1/(x - 1))).

Теперь перепишем правую часть неравенства:

2 * log₂((x² + x - 1) / 2) = log₂((x² + x - 1) / 2) + log₂((x² + x - 1) / 2) = log₂((x² + x - 1) * (x² + x - 1) / 4).

Теперь неравенство выглядит следующим образом:

log₂((x - 1) * (x² + 1/(x - 1))) ≤ log₂((x² + x - 1) * (x² + x - 1) / 4).

2. Упрощение неравенства:

Для упрощения неравенства уберем логарифмы:

(x - 1) * (x² + 1/(x - 1)) ≤ (x² + x - 1) * (x² + x - 1) / 4.

3. Разрешение неравенства:

Умножим обе стороны неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

4 * (x - 1) * (x² + 1/(x - 1)) ≤ (x² + x - 1) * (x² + x - 1).

Раскроем скобки:

4x³ + 4 - 4/x ≤ x⁴ + 2x³ - x² + 2x² + x - 1.

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

0 ≤ x⁴ + 2x³ - x² + 2x² + x - 1 - 4x³ - 4 + 4/x.

Упростим выражение:

0 ≤ x⁴ - 2x³ + x² + 2x + 3 - 4/x.

Умножим всё на x:

0 ≤ x⁵ - 2x⁴ + x³ + 2x² + 3x - 4.

Теперь мы получили неравенство в стандартной форме. Оно не решается аналитически, и его можно решить графически или численно.

Если вам необходимо найти численные значения x, удовлетворяющие этому неравенству, вы можете воспользоваться методом численного решения, например, методом бисекции или методом Ньютона.