Question

Помогите пожалуйста Дробь m/n сократима. Сократима ли дробь m/3m+5n Ответ обоснуйте. Дробь m/n сократима. Сократима ли дробь 4m/2m+3n Ответ обоснуйте.

Answer 1

если дробь m/n сократима, то существует такое число k, что m/n=k.

Тогда, m=n*k.

m/(3m+5n)=(n*k)/(3*n*k+5*n)=(n*k)/(n*(3*k+5))=k/(3k+5) ⇒ Дробь сократима

(4*n*k)/(2*n*k+3*n)=(4*n*k)/(n*(2*k+3))=(4*k)/(2k+3) ⇒ Дробь сократима

Answer 2

Для проверки того, является ли дробь сократимой, нужно просто определить, имеют ли числитель и знаменатель общие делители, кроме единицы. Если у них есть общие делители, то дробь можно сократить.

1. Дробь m/n: Если дробь m/n сократима, значит, у числителя m и знаменателя n есть общие делители, кроме единицы.

2. Дробь m/(3m + 5n): Для определения сократимости этой дроби выведем наибольший общий делитель (НОД) числителя m и знаменателя (3m + 5n) и проверим, равен ли он единице или нет.

Вычислим НОД(m, 3m + 5n): Найдем разложение на простые множители знаменателя 3m + 5n:

3m + 5n = m(3 + 5n/m).

Видим, что второй множитель (3 + 5n/m) будет натуральным числом только тогда, когда n делится на m. В противном случае, этот множитель будет дробным числом, и, следовательно, у числителя m и знаменателя (3m + 5n) нет общих делителей, кроме единицы.

Таким образом, если n не делится на m, то дробь m/(3m + 5n) является несократимой.

Теперь посмотрим на дробь 4m/(2m + 3n):

Вычислим НОД(4m, 2m + 3n):

Здесь можем вынести общий множитель 2m:

2m + 3n = m(2 + 3n/m).

Аналогично предыдущему случаю, для того чтобы второй множитель (2 + 3n/m) был натуральным числом, n должно делиться на m.

Если n не делится на m, то дробь 4m/(2m + 3n) также будет несократимой.

Таким образом, оба выражения m/(3m + 5n) и 4m/(2m + 3n) будут сократимыми только в случае, если n делится на m. В противном случае они останутся несократимыми.