Question

1+cos8x = 2cos4x Данный пример необходимо решить через ФОРМУЛУ ПОЛОВИННОГО УГЛА. Заранее БОЛЬШОЕ СПАСИБО!

Answer 1

1 + Cos8x = 2Cos4x

2Cos²4x - 2Cos4x = 0

Cos²4x - Cos4x = 0

Cos4x(Cos4x - 1) = 0

1) Cos4x = 0

$4x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in z\\\\x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n }{4},n\in z$

2) Cos4x - 1 = 0

Cos4x = 1

$4x=2\pi n,n\n z\\\\x=\frac{\pi n }{2},n\n z$

Answer 2

Для решения уравнения $1 + \cos(8x) = 2\cos(4x)$ с помощью формулы половинного угла, давайте сначала приведем обе стороны уравнения к виду синуса или косинуса половинного угла.

Формула половинного угла для косинуса: $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$

Теперь мы можем использовать эту формулу для переписывания уравнения:

$1 + \cos(8x) = 2\cos(4x)$ $1 + 2\cos^2(4x) - 1 = 2\cos(4x)$ $2\cos^2(4x) = 2\cos(4x)$

Теперь делим обе стороны на $\cos(4x)$:

$\cos(4x) = 1$

Теперь применяем формулу половинного угла для косинуса:

$\cos(2\theta) = 1$ $2\cos^2(\theta) - 1 = 1$

Теперь решаем полученное уравнение:

$2\cos^2(\theta) = 2$ $\cos^2(\theta) = 1$ $\cos(\theta) = \pm 1$

Так как нам нужно решить уравнение для $x$, мы вернемся к углу $\theta = 4x$:

$\cos(4x) = \pm 1$

Теперь решим оба случая:

1. $\cos(4x) = 1$:

Это соответствует углу $4x = 0^\circ + 360^\circ n$, где $n$ - целое число.

Решение этого случая: $x = 0^\circ + 90^\circ n$

2. $\cos(4x) = -1$:

Это соответствует углу $4x = 180^\circ + 360^\circ n$, где $n$ - целое число.

Решение этого случая: $x = 45^\circ + 90^\circ n$

Таким образом, общее решение уравнения $1 + \cos(8x) = 2\cos(4x)$ с использованием формулы половинного угла: $x = 0^\circ + 90^\circ n$ или $x = 45^\circ + 90^\circ n$, где $n$ - целое число.