Question

Решите уравнение (1+tg^2 x)/(4*sin^2 x)=1

Answer 1

$\frac{1+tg^{2}x }{4Sin^{2}x }=1\\\\\frac{\frac{1}{Cos^{2}x }}{4Sin^{2}x }=1\\\\\frac{1}{4Sin^{2}x Cos^{2}x}=1\\\\4Sin^{2}x Cos^{2}x=1\\\\Sin^{2}2x=1$

$1)Sin2x=1\\\\2x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in z\\\\x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in z\\\\2)Sin2x=-1\\\\2x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in z\\\\x=-\frac{\pi }{4} +\pi n,n\in z$

Эти два ответа можно объединить :

$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n }{2},n\in z$

Answer 2

(1+tg² x)/(4·sin² x)=1;

1/(4·sin² x·cos²x) = 1;

1/sin²(2x) = 1;

sin²(2x) = 1|·2;

2sin²(2x) = 2;

1 - cos(4x) = 2;

cos(4x) = 1 - 2;

cos(4x) = -1;

4x = π + 2πn, n∈Z;

x = π/4 + πn/2, n∈Z;

Ответ: π/4 + πn/2, n∈Z;

Answer 3

Для решения уравнения, давайте преобразуем его и найдем значения переменной x, удовлетворяющие уравнению.

Исходное уравнение: (1 + tg^2(x)) / (4 * sin^2(x)) = 1

Прежде всего, заметим, что tg^2(x) = sin^2(x) / cos^2(x), поскольку tg(x) = sin(x) / cos(x).

Подставим эту замену в уравнение: (1 + sin^2(x) / cos^2(x)) / (4 * sin^2(x)) = 1

Далее, умножим обе стороны уравнения на 4 * sin^2(x) * cos^2(x), чтобы избавиться от знаменателя: 4 * sin^2(x) * cos^2(x) * ((1 + sin^2(x) / cos^2(x)) / (4 * sin^2(x))) = 4 * sin^2(x) * cos^2(x) * 1

После сокращения некоторых частей, получим: sin^2(x) + sin^4(x) / cos^2(x) = 4 * sin^2(x) * cos^2(x)

Далее, домножим обе стороны уравнения на cos^2(x), чтобы избавиться от знаменателя слева: cos^2(x) * sin^2(x) + sin^4(x) = 4 * sin^2(x) * cos^2(x)

Теперь заметим, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x), так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1: cos^2(x) * (1 - cos^2(x)) + sin^4(x) = 4 * sin^2(x) * cos^2(x)

Раскроем скобки и упростим: cos^2(x) - cos^4(x) + sin^4(x) = 4 * sin^2(x) * cos^2(x)

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: cos^2(x) - cos^4(x) + sin^4(x) - 4 * sin^2(x) * cos^2(x) = 0

Теперь преобразуем уравнение, объединяя некоторые члены: cos^2(x) * (1 - cos^2(x)) - sin^2(x) * (4 * cos^2(x) - 1) = 0

Заметим, что (1 - cos^2(x)) = sin^2(x). Подставим это в уравнение: cos^2(x) * sin^2(x) - sin^2(x) * (4 * cos^2(x) - 1) = 0

Теперь вынесем общий множитель sin^2(x): sin^2(x) * (cos^2(x) - 4 * cos^2(x) + 1) = 0

Далее, упростим выражение в скобках: sin^2(x) * (-3 * cos^2(x) + 1) = 0

Теперь используем тот факт, что sin^2(x) не может быть равным нулю, иначе у нас бы не было решений для x. Поэтому уравнение упрощается: -3 * cos^2(x) + 1 = 0

Теперь добавим 3 * cos^2(x) на обе стороны уравнения: 1 = 3 * cos^2(x)

И, наконец, разделим обе стороны на 3: cos^2(x) = 1/3

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие этому уравнению. Вспомним, что cos^2(x) = 1/3, а cos(x) > 0 для значений x на интервале (0, π), так как 0 < x < π/2. Следовательно, решением уравнения будет:

cos(x) = √(1/3)

Теперь найдем значение x, используя калькулятор:

x = acos(√(1/3)) x ≈ 1.23096

Таким образом, одним из решений уравнения является x ≈ 1.23096 (радианы).