Question

Найдите точки экстремума и определите их характер: у = х3 + 3х2 - 9х - 2.

Answer 1

Ответ:

Объяснение: y=x³+3x²-9x-2

y'=3x²+6x-9

y'=0,  3x²+6x-9=0, x²+2x-3=0,D=4+12=16=4², x1=1,x2=-3--т.зкстремума

------- -3---------- 1 --------⇒y'

+            -               +

-3--- т.max

1----т.min    

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции $y = x^3 + 3x^2 - 9x - 2$, сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем проанализируем вторую производную, чтобы определить характер экстремумов.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 9x - 2)$

$y' = 3x^2 + 6x - 9$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 + 6x - 9 = 0$

3. Решим уравнение: $3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3) = 0$

Теперь факторизуем получившееся квадратное уравнение: $3(x + 3)(x - 1) = 0$

Отсюда получаем две критические точки $x = -3$ и $x = 1$.

4. Теперь проанализируем характер экстремумов с помощью второй производной. Найдем вторую производную функции $y$:

$y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^3 + 3x^2 - 9x - 2)$

$y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 6x - 9)$

$y'' = 6x + 6$

5. Подставим критические точки $x = -3$ и $x = 1$ во вторую производную:

Для $x = -3$: $y'' = 6(-3) + 6 = -12$

Для $x = 1$: $y'' = 6(1) + 6 = 12$

Теперь посмотрим на значения второй производной в этих точках.

• Если $y'' < 0$, то это указывает на максимум.
• Если $y'' > 0$, то это указывает на минимум.

6. Итак, с учетом анализа второй производной:

• В точке $x = -3$, вторая производная $y'' = -12$ (отрицательное значение), следовательно, это будет точка максимума.
• В точке $x = 1$, вторая производная $y'' = 12$ (положительное значение), следовательно, это будет точка минимума.

Итак, точка экстремума $x = -3$ является максимумом, а точка экстремума $x = 1$ является минимумом.