Question

Найти точки минимума и максимума функции y = 3+x^2/x+2 через производную.

Answer 1

у = (3 +х²)/(х +2)

1) y'= ((3 +х²)'*(х +2) -  (3 +х²)*(х +2)' )/(x + 2)² = (2x(x +2) -3 - x²)/(x +2)² =

= (2x² +4x -3 -x²)/(x +2)² = (x² +2x -3)/(x +2)²

2) (x² +4x -3)/(x +2)² = 0, ⇒(x² +4x -3) = 0  

корни      x₁ = -2 +√7,  x₂ =  -2 - √7

                                            (x +2)² ≠ 0,    ⇒     x ≠ -2

-∞       (-2 - √7)         (-2)        (-2 +√7)         +∞

     +                  -               -                 +          это знаки  x² +4x -3

         max            разрыв       min

Answer 2

Для нахождения точек минимума и максимума функции $y = \frac{3 + x^2}{x + 2}$ сначала найдем ее производную и затем решим уравнение $y' = 0$. Точки, в которых производная равна нулю, могут быть точками экстремума (минимума или максимума).

Шаг 1: Найдем производную функции $y$ по переменной $x$:

$y = \frac{3 + x^2}{x + 2}$

Используем правило деления и цепное правило для нахождения производной:

$y' = \frac{(x + 2) \cdot \frac{d}{dx}(3 + x^2) - (3 + x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x + 2)}{(x + 2)^2}$

$y' = \frac{(x + 2) \cdot (2x) - (3 + x^2) \cdot 1}{(x + 2)^2}$

Шаг 2: Упростим производную:

$y' = \frac{2x^2 + 4x - (3 + x^2)}{(x + 2)^2}$

$y' = \frac{2x^2 + 4x - 3 - x^2}{(x + 2)^2}$

$y' = \frac{x^2 + 4x - 3}{(x + 2)^2}$

Шаг 3: Найдем точки, в которых производная равна нулю, решая уравнение $y' = 0$:

$x^2 + 4x - 3 = 0$

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или используя квадратное уравнение.

Факторизуем:

$(x + 3)(x - 1) = 0$

Таким образом, $x = -3$ или $x = 1$.

Шаг 4: Определим тип точек (минимум, максимум или разрыв) с помощью второй производной. Для этого найдем вторую производную функции $y$:

$y' = \frac{x^2 + 4x - 3}{(x + 2)^2}$

Используем правило деления и цепное правило для нахождения второй производной:

$y'' = \frac{(x + 2)^2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 4x - 3) - (x^2 + 4x - 3) \cdot \frac{d}{dx}(x + 2)^2}{(x + 2)^4}$

$y'' = \frac{(x + 2)^2 \cdot (2x + 4) - (x^2 + 4x - 3) \cdot 2(x + 2)}{(x + 2)^4}$

$y'' = \frac{(x + 2)(2x^2 + 4x + 4 - 2x^2 - 8x + 6)}{(x + 2)^4}$

$y'' = \frac{(x + 2)(-4x + 10)}{(x + 2)^4}$

Шаг 5: Подставим найденные значения $x$ во вторую производную:

При $x = -3$:

$y'' = \frac{(-3 + 2)(-4(-3) + 10)}{(-3 + 2)^4} = \frac{-28}{1} = -28$ 0 0