Question

Дано квадратное уравнение x^2-3x+1, корни которого a и b. Не решая квадратное уравнение, найдите (a^4*b+a*b^4)/(a^2+b^2)

Answer 1

Ответ:

$\frac{18}{7}$

Объяснение:

Попробуем упростить выражение:

$\frac{a^4b+ab^4}{a^2+b^2} = \frac{ab(a^3+b^3)}{a^2+b^2} =\\=\frac{ab(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2+b^2}$

По теореме Виета мы знаем, что a + b = 3; ab = 1.

Подставляем в выражение:

$\frac{3(a^2-1+b^2)}{a^2+b^2} = 3 - \frac{3}{a^2+b^2} = 3 - \frac{3}{(a+b)^2 - 2ab} = 3 - \frac{3}{9 - 2} = 3 - \frac{3}{7} = \frac{18}{7}$

Answer 2

$\frac{ {a}^{4}b + a {b}^{4} }{ {a}^{2} + {b}^{2} } = \frac{ab( {a}^{3} + {b}^{3} )}{ {(a + b)}^{2} - 2ab } = \frac{ab(a + b)( {a}^{2} - ab + {b}^{2}) }{(a + b)^{2} - 2ab} = \frac{ab(a + b)(( {a + b)}^{2} - 3ab) }{(a + b)^{2} - 2ab}\\ \\ a + b = 3 \\ ab = 1 \\ \\ \frac{ab(a + b)(( {a + b)}^{2} - 3ab) }{(a + b)^{2} - 2ab} = \frac{1 \times 3 \times (9 - 3)}{9 - 2} = \frac{3 \times 6}{7} = \frac{18}{7}$

Answer 3

Для квадратного уравнения x^2 - 3x + 1, зная его корни a и b, мы можем использовать следующее свойство:

Если у нас есть квадратное уравнение вида x^2 + bx + c, и его корни равны a и b, то сумма корней равна -b, а произведение корней равно c.

Таким образом, для данного уравнения с корнями a и b, у нас есть:

a + b = 3 (так как коэффициент перед x в исходном уравнении -3) ab = 1 (так как свободный член в исходном уравнении 1)

Теперь, давайте вычислим значение выражения (a^4b + ab^4) / (a^2 + b^2) используя эти значения:

(a^4b + ab^4) / (a^2 + b^2) = [(ab)(a^3 + b^3)] / (a^2 + b^2)

Мы знаем, что a + b = 3, таким образом, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 9. Теперь можем выразить a^2 + b^2:

a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 9 - 2*1 = 7

Теперь давайте выразим (a^3 + b^3) через (a + b) и (ab):

a^3 + b^3 = (a + b)*(a^2 - ab + b^2)

Мы уже вычислили a^2 + b^2 = 7 и знаем, что ab = 1:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 3(a^2 - 1 + b^2) = 3*(7 - 1) = 3*6 = 18

Теперь мы можем окончательно вычислить искомое значение:

(a^4b + ab^4) / (a^2 + b^2) = [(ab)(a^3 + b^3)] / (a^2 + b^2) = [(1)*(18)] / 7 = 18 / 7 ≈ 2.5714

Итак, (a^4b + ab^4) / (a^2 + b^2) ≈ 2.5714.