Question

Решите уравнение sin x + sin 2 x = 0

Answer 1

$\sqrt{3} \: sinx + sin2x = 0$

Используем формулу синуса двойного аргумента:

$sin2x = 2 \: sinx \times cosx$

$\sqrt{3 } \: sinx + 2sinx \times cosx = 0 \\ \\ sinx \times ( \sqrt{3 } + 2cosx) = 0 \\ \\ 1) \: \: sinx = 0 \\ \\ x = \pi \: n \\ \\ 2) \: \: \sqrt{3} + 2cosx = 0 \\ \\ cosx = - \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ a) \: \: x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \: n \\ \\ b) \: \: x = - \frac{5\pi}{6} + 2\pi \: n$

ОТВЕТ: пn ; (5п/6) + 2пn ; (- 5п/6) + 2пn, n принадлежит Z.

Answer 2

Для решения уравнения sin x + sin 2x = 0, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы переписать его в другой форме.

Сначала воспользуемся формулой суммы синусов:

sin 2x = 2sin x cos x

Подставим это обратно в исходное уравнение:

sin x + 2sin x cos x = 0

Теперь вынесем sin x за скобку:

sin x (1 + 2cos x) = 0

Теперь мы имеем два множителя, и произведение будет равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.

1. sin x = 0:

Это возможно при x = 0, π, 2π, 3π и т.д. — все значения, при которых синус равен нулю.

2. 1 + 2cos x = 0:

Вычтем 1 из обеих сторон:

2cos x = -1

Разделим на 2:

cos x = -1/2

Это возможно при x = 2π/3 + 2πn и x = 4π/3 + 2πn, где n — целое число.

Таким образом, все решения уравнения sin x + sin 2x = 0 будут состоять из трех видов:

x = 0 + 2πn, π + 2πn, 2π/3 + 2πn, 4π/3 + 2πn, где n — целое число.