Question

Sin^2( + x) = sinx + sin^2( - x) Надеюсь у кого-то получится это решить.

Answer 1

$Sin^{2}(\frac{\pi }{8}+x)=Sinx+Sin^{2}(\frac{\pi }{8}-x)\\\\Sin^{2}(\frac{\pi }{8}+x)-Sin^{2}(\frac{\pi }{8}-x)=Sinx\\\\(Sin(\frac{\pi }{8}+x)+Sin(\frac{\pi }{8}-x))(Sin(\frac{\pi }{8}+x)-Sin(\frac{\pi }{8}-x))=Sinx$

$(Sin\frac{\pi }{8}Cosx+Cos\frac{\pi }{8}Sinx+Sin\frac{\pi }{8}Cosx-Cos\frac{\pi }{8}Sinx)(Sin\frac{\pi }{8}Cosx+Cos\frac{\pi }{8} Sinx-Sin\frac{\pi }{8}Cosx+Cos\frac{\pi }{8}Sinx)=Sinx\\\\2Sin\frac{\pi }{8}Cosx*2Cos\frac{\pi }{8}Sinx=Sinx\\\\Sin\frac{\pi }{4}Sin2x=Sinx$

$\frac{\sqrt{2} }{2}*2Sinx Cosx-Sinx=0\\\\\sqrt{2}Sinx Cosx-Sinx=0\\\\Sinx(\sqrt{2}Cosx-1)=0\\\\\left[\begin{array}{ccc}Sinx=0\\\sqrt{2}Cosx-1=0 \end{array}\right\\\\\left[\begin{array}{ccc}Sinx=0\\Cosx=\frac{1}{\sqrt{2} } \end{array}\right\\\\\left[\begin{array}{ccc}x=\pi n,n\in Z \\x=\pm\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z \end{array}\right$

Answer 2

Ответ:

$\left [ {{x=\pi n, n \in Z} \atop {x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k}, k\in Z} \right.$

Объяснение:

Воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 a=\frac{1-\cos 2a}{2}:$

$\frac{1-\cos(\frac{\pi}{4}+2x)}{2}=\sin x+\frac{1-\cos(\frac{\pi}{4}-2x)}{2};\ \cos(\frac{\pi}{4}-2x)-\cos(\frac{\pi}{4}+2x)=2\sin x.$

Воспользуемся формулой $\cos a-\cos b=2\sin\frac{a+b}{2}\cdot\sin\frac{b-a}{2}:$

$2\sin\frac{\pi}{4}\cdot \sin 2x=2\sin x;\ \sqrt{2}\sin 2x=2\sin x;\ 2\sqrt{2}\sin x\cdot \cos x=2\sin x;$

$2\sin x(\sqrt{2}\cos x-1)=0;\ \left [ {{\sin x=0} \atop {\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}}} \right. ;\ \left [ {{x=\pi n} \atop {x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k}} \right.$

Answer 3

Для решения данного уравнения, давайте разберемся с обозначениями:

• "sin" - синус функции;
• "+" - обозначение неизвестной переменной;
• "x" - переменная, участвующая в уравнении;
• "-" - минус, который, кажется, означает негативную величину.

Исходное уравнение звучит следующим образом:

sin^2(α + x) = sin(x) + sin^2(α - x).

Здесь α представляет собой некоторое число, но нам неизвестно, что именно оно означает. Наша задача - решить уравнение относительно "x".

Итак, давайте попробуем решить это уравнение. Начнем с преобразования:

sin^2(α + x) = sin(x) + sin^2(α - x).

Заметим, что sin^2(y) = (sin(y))^2. Теперь преобразуем уравнение:

(sin(α + x))^2 = sin(x) + (sin(α - x))^2.

Заметим также, что (sin(y))^2 + (cos(y))^2 = 1. Поэтому можно заменить (sin(α - x))^2 на (1 - (cos(α - x))^2):

(sin(α + x))^2 = sin(x) + 1 - (cos(α - x))^2.

Теперь, давайте рассмотрим другой факт: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β). Можем использовать его для sin(α + x):

(sin(α + x))^2 = (sin(α)cos(x) + cos(α)sin(x))^2.

Раскроем квадрат:

(sin(α + x))^2 = (sin^2(α)cos^2(x) + 2sin(α)cos(α)sin(x)cos(x) + cos^2(α)sin^2(x)).

Теперь вспомним, что sin^2(y) + cos^2(y) = 1. Мы можем заменить каждый член sin^2(y) на (1 - cos^2(y)):

(sin(α + x))^2 = ((1 - cos^2(α))cos^2(x) + 2sin(α)cos(α)sin(x)cos(x) + (1 - cos^2(α))sin^2(x)).

Теперь давайте заменим sin(α) и cos(α) на их значения:

(sin(α + x))^2 = ((1 - cos^2(α))cos^2(x) + 2sin(α)cos(α)sin(x)cos(x) + (1 - cos^2(α))sin^2(x)).

Теперь у нас есть уравнение с переменной "x". Мы можем попробовать решить его численно или аналитически, если у нас есть какое-либо дополнительное условие для α.

Однако стоит отметить, что данное уравнение может быть достаточно сложным для аналитического решения, и результат может быть представлен в виде довольно громоздких уравнений. Поэтому для конкретного значения α можно попробовать использовать численные методы, чтобы найти приближенное решение для "x".