Question

Рациональное число p/q является суммой 35 дробей 1/2^2, 2/3^2, ..., 35/36^2. Доказать, что р делится на 37.

Answer 1

Воспользуемся леммой

Если m-простое число в данном случае m=37, то набор N={2,3,4,5...,35}  всегда можно разбить на пары (a,b) произведении которых, будут давать  a*b дает остаток 1 по модулю 37 (некий частный случай Теоремы Вильсона).

Преобразуем

1/2^2+2/3^2+3/4^2+...+35/36^2  = ((3*4*5*...*36)^2+2*(2*4*5*6*...*36)^2+...+35*(2*3*4*...*35)^2)/(36!)^2

По теореме Вильсона 36! = 36 по mod 37 значит докажем числитель делится на 37 (это и докажет что p делится на 37) так как q не делится на 37.

Воспользовавшись леммой, получаем что каждое слагаемое в числителе

(3*4*5*...*36)^2=(36*x1)^2 по mod 37

(2*4*5*6*...*36)^2=(36*x2)^2 по mod 37

(2*3*5*6*...*36)^2=(36*x3)^2 по mod 37  

...

(2*3*4*5*...*35)^2=1 mod 37  (Теорема Вильсона)

Отметим что x1,x2,x3.,,,.x(m-3)  чисел попарно различные, образующие очевидно множество {2,3,4,...m-2} тогда среди можно выбрать два элемента которые дадут сравнение  x^2=y^2 mod 37  потому что (x-y)(x+y)=0 mod 37 , а множество можно разбить на соответственные суммы  2+35=3+34=...=18+19

p=36^2(1*x1^2+2*x2^2+3*x3^2+4*x4^2+...+34*x(34)^2)+35  

так как 36^2=1 по mod 37  

Докажем что (1*x1^2+2*x2^2+3*x3^2+4*x4^2+...+34*x(34)^2) = 2  mod 37

Так как выше было сказано что половина остатков равные, то выражение можно записать через остатки которые будут образовывать последовательную сумму (так как набор из множества {2,3,4,...,35}  откуда

p=35*(2^2+3^2+4^2+...+17^2+18^2)  

воспользуемся формулой что 1^2+2^2+3^2+...n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Тогда p=35*(18*19*37/6-1) = 35*3*19*37 - 35 = 0-(37-2) = 2 mod 37

То есть p=36^2*2+35 = 1*2+35 = 0 mod 37

Answer 2

Для доказательства того, что рациональное число p/q делится на 37, мы воспользуемся методом математической индукции. Прежде всего, давайте выразим сумму этих 35 дробей в общем виде:

S = 1/2^2 + 2/3^2 + 3/4^2 + ... + 35/36^2

Теперь рассмотрим первый шаг индукции:

1. Когда n = 1, S1 = 1/2^2 = 1/4

Затем предположим, что справедливо для n = k, т.е., сумма первых k дробей делится на 37:

Sk = 1/2^2 + 2/3^2 + 3/4^2 + ... + k/(k+1)^2 = p/kq

Теперь докажем, что это также справедливо для n = k + 1:

Sk+1 = 1/2^2 + 2/3^2 + 3/4^2 + ... + k/(k+1)^2 + (k+1)/(k+2)^2

Теперь добавим (k+1)/(k+2)^2 к Sk:

Sk+1 = Sk + (k+1)/(k+2)^2

Заметим, что (k+1)/(k+2)^2 - (k+1)/k(k+2) = (k+1)(k+2 - k)/(k+2)^2 = 1/(k+2)^2

Теперь можем записать Sk+1:

Sk+1 = Sk + (k+1)/(k+2)^2 = p/kq + 1/(k+2)^2

По предположению индукции Sk = p/kq, поэтому:

Sk+1 = p/kq + 1/(k+2)^2 = (p(k+2)^2 + q)/(kq(k+2)^2)

Таким образом, для n = k+1, сумма первых (k+1) дробей также представима в виде рациональной дроби p/q. Теперь докажем базовый случай, чтобы завершить доказательство:

Для n = 1, S1 = 1/4. Мы видим, что p = 1 и q = 4, и число p/q действительно делится на 37.

Таким образом, мы доказали, что сумма первых 35 дробей 1/2^2, 2/3^2, ..., 35/36^2 представляет собой рациональное число p/q, которое делится на 37.