Question

Визначити проміжки зростання і спадання функції y = abs(x^2 - 3 x - 4)

Answer 1

Розв'язок на фото нижче

Answer 2

Для того щоб визначити проміжки зростання та спадання функції $y = |x^2 - 3x - 4|$, ми можемо скористатися першою похідною функції. Проміжки зростання відбуваються там, де похідна додатня, а проміжки спадання - там, де похідна від'ємна.

Спочатку знайдемо похідну виразу $y = |x^2 - 3x - 4|$.

Зауважте, що $|x|$ можна визначити як $\sqrt{x^2}$. Таким чином:

$y = \sqrt{(x^2 - 3x - 4)^2}$

Тепер знайдемо похідну виразу $y$ по $x$:

$y' = \frac{d}{dx} \sqrt{(x^2 - 3x - 4)^2}$

Використовуючи правило ланцюжків, отримуємо:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{(x^2 - 3x - 4)^2}} \cdot 2(x^2 - 3x - 4) \cdot (2x - 3)$

Спростимо:

$y' = \frac{(x^2 - 3x - 4)(2x - 3)}{\sqrt{(x^2 - 3x - 4)^2}}$

Для знаходження проміжків зростання та спадання, ми маємо розглянути значення $y'$. Прирівняємо $y'$ до нуля і знайдемо критичні точки:

$0 = (x^2 - 3x - 4)(2x - 3)$

Таким чином, ми маємо два фактори:

1. $x^2 - 3x - 4 = 0$
2. $2x - 3 = 0$

Розв'яжемо ці рівняння:

1. $x^2 - 3x - 4 = 0$ Факторизуємо: $(x - 4)(x + 1) = 0$ Звідси отримуємо два корені: $x = 4$ та $x = -1$.

2. $2x - 3 = 0$ Звідси отримуємо: $x = \frac{3}{2}$.

Таким чином, критичні точки цієї функції є $x = 4$, $x = -1$ та $x = \frac{3}{2}$.

Тепер складемо таблицю знаків похідної $y'$ для різних проміжків значень $x$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -1) & (-1, \frac{3}{2}) & (\frac{3}{2}, 4) & (4, +\infty) \\ \hline y' & + & - & + & + \\ \hline \end{array}$$

Тепер можемо зробити висновок:

1. Функція $y = |x^2 - 3x - 4|$ зростає на проміжках $(-1, \frac{3}{2})$ та $(4, +\infty)$.
2. Функція $y = |x^2 - 3x - 4|$