Question

Докажите, что при любом натуральном m число m^5+4m делится на 5.

Answer 1

Ответ:

${m}^{5} + 4m = {m}^{5} - m + 5m = m( {m}^{4} - 1) + 5m = m( {m}^{2} - 1)( {m}^{2} + 1) + 5m = m(m - 1)(m + 1)( {m}^{2} + 1) + 5m = m(m - 1)(m + 1)( {m}^{2} - 4 + 5) + 5m = m(m - 1)(m + 1)( {m}^{2} - 4) + 5m( {m}^{2} - 1) + 5m = m(m - 1)(m + 1)(m - 2)(m + 2) + 5 {m}^{3}$

Т.к первое произведение состоит из пяти последовательных натуральных чисел, то оно делится на пять, второе слагаемое также делится на 5 => исходное выражение делится на 5.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка для m = 1 При m = 1, мы должны доказать, что 1^5 + 4 * 1 делится на 5: 1^5 + 4 * 1 = 1 + 4 = 5 5 делится на 5 без остатка, поэтому базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k: k^5 + 4k делится на 5.

Шаг 3: Доказательство для m = k + 1 Теперь докажем, что утверждение верно и для числа k + 1: (k + 1)^5 + 4(k + 1) = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 + 4k + 4 = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 9k + 5

Теперь рассмотрим выражение k^5 + 4k: k^5 + 4k = (k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 9k + 5) - (5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1)

Заметим, что (5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1) делится на 5, так как каждый член в нем содержит множитель 5. Также, по предположению индукции, k^5 + 4k также делится на 5.

Таким образом, (k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 9k + 5) также делится на 5, так как к нему прибавляется число, делится на 5 (4(k + 1) = 4k + 4, и 4k делится на 5).

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для некоторого числа k, то оно также верно и для числа k + 1.

Исходя из базового случая (m = 1) и предположения индукции, мы можем заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел m. Поэтому, при любом натуральном m число m^5 + 4m делится на 5.