Question

Докажите что при любом натуральном n значение выражения b)7^n+3+7^n делится на 43

Answer 1

$7^{n+3}+7^{n}=7^{n}(7^{3}+1)=7^{n}*344=7^{n}*8*43$

Если один из множителей делится на 43, то и всё произведение делится на 43 .

Answer 2

Для того чтобы доказать, что при любом натуральном n значение выражения $7^n+3+7^n$ делится на 43, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Индукция позволяет нам доказать утверждение для всех натуральных чисел n, начиная с некоторого базового значения, и показать, что если утверждение верно для некоторого n, то оно верно и для $n+1$.

Шаг 1: Базовый случай Для n = 1: $7^1 + 3 + 7^1 = 7 + 3 + 7 = 17$

Проверим, делится ли 17 на 43. Очевидно, что нет, так как 17 = 0 (мод 43).

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е. $7^k + 3 + 7^k$ делится на 43.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что утверждение верно для $k+1$. То есть, докажем, что $7^{k+1} + 3 + 7^{k+1}$ делится на 43.

Распишем $7^{k+1} + 3 + 7^{k+1}$ как $7 \cdot 7^k + 3 + 7 \cdot 7^k$.

Теперь заметим, что $7^k + 3 + 7^k$ - это кратное 43, согласно предположению индукции. Обозначим это число за $m$. Тогда можно записать $7^k + 3 + 7^k$ в виде $43 \cdot t$ для некоторого целого числа t.

Теперь вернемся к выражению $7 \cdot 7^k + 3 + 7 \cdot 7^k$:

$7 \cdot 7^k + 3 + 7 \cdot 7^k = 7 \cdot (7^k + 3 + 7^k) = 7 \cdot (43 \cdot t) = 43 \cdot (7 \cdot t)$

Мы видим, что $7 \cdot 7^k + 3 + 7 \cdot 7^k$ также делится на 43, так как это является произведением 43 и некоторого целого числа $7 \cdot t$.

Таким образом, мы доказали, что если $7^k + 3 + 7^k$ делится на 43, то и $7^{k+1} + 3 + 7^{k+1}$ делится на 43.

Шаг 4: Заключение Из базового случая и индукционного перехода следует, что утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, при любом натуральном n значение выражения $7^n + 3 + 7^n$ делится на 43.