Question

Проекции катетов на гипотенузу 2 и 18 см. Найдите эти катеты.

Answer 1

Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетами.

$BD=\sqrt{AD\cdot CD}=\sqrt{2\cdot18}=6$ см

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ADB$

$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$ см

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $BDC$

$BC=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{18^2+6^2}=6\sqrt{10}$ см

Ответ: 2√10 см и 6√10 см.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Обозначим катеты как a и b, а гипотенузу как c. По условию, проекции катетов на гипотенузу составляют 2 см и 18 см. Пусть проекция первого катета равна 2 см, а проекция второго катета равна 18 см.

Имеем следующие уравнения:

a^2 + b^2 = c^2 ---(1) a + 2 = c ---(2) b + 18 = c ---(3)

Мы можем решить систему этих трех уравнений для нахождения значений катетов.

Из уравнения (2) выразим c через a: c = a + 2.

Подставим это выражение в уравнение (3): b + 18 = a + 2.

Теперь выразим b через a: b = a - 16.

Подставим значения b и c в уравнение (1): a^2 + (a - 16)^2 = (a + 2)^2.

Раскроем скобки и упростим уравнение: a^2 + a^2 - 32a + 256 = a^2 + 4a + 4.

Сократим a^2 с обеих сторон: a^2 - 32a + 256 = 4a + 4.

Перенесем все члены в одну сторону: a^2 - 36a + 252 = 0.

Теперь мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью факторизации или квадратного корня.

Факторизуем: (a - 6)(a - 42) = 0.

Таким образом, получаем два возможных значения для a: a = 6 или a = 42.

Если a = 6, то b = 6 - 16 = -10, что не подходит, так как длины не могут быть отрицательными.

Если a = 42, то b = 42 - 16 = 26.

Итак, катеты равны 42 см и 26 см.