Question

Найти производную : y=arctg(x/2+1)

Answer 1

$y=arctg(\frac{x}{2}+1)\\\\y'=\frac{1}{1+(\frac{x}{2}+1)^2}\cdot (\frac{x}{2}+1)'=\frac{4}{x^2+4x+8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{x^2+4x+8}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции y = arctg(x/2 + 1), мы можем использовать правило дифференцирования для композиции функций (правило цепочки). Давайте применим это правило.

Правило цепочки гласит, что если у нас есть функция f(g(x)), то ее производная равна производной внешней функции f(g(x)) умноженной на производную внутренней функции g(x). В данном случае внешняя функция - это arctg(u), где u = x/2 + 1, а внутренняя функция - это u = x/2 + 1.

Давайте найдем производные по очереди.

Производная внутренней функции: g'(x) = d(u)/d(x) = d(x/2 + 1)/d(x) = 1/2.

Производная внешней функции: f'(u) = d(arctg(u))/d(u) = 1/(1 + u^2).

Теперь мы можем применить правило цепочки и перемножить производные:

dy/dx = f'(u) * g'(x) = (1/(1 + u^2)) * (1/2) = 1/(2(1 + u^2)).

Заменив u на x/2 + 1, получаем окончательный ответ:

dy/dx = 1/(2(1 + (x/2 + 1)^2)).