Question

Знайдіть чотири числа, що утворюють спадну геометричну прогресію, у якій сума крайніх чисел дорівнює 112, а сума середніх дорівнює 48 ​

Answer 1

Ответ: b₁=108    b₂=36    b₃=12    b₄=4.

Объяснение:

q<0

{b₁+b₄=112       {b₁+b₁q³=112         {b₁*(1+q³)=112

{b₂+b₃=48       {b₁q+b₁q²=48       {b₁*(q+q²)=48

разделим второе уравнение на первое:

(b₁*(q³+1))/(b₁*(q²+q)=112/48

(q³+1)/(q²+q)=7/3

(q+1)*(q²-q+1)/(q*(q+1))=7/3

(q²-q+1)/q=7/3

3*(q²-q+1)=7q

3q²-3q+3=7q

3q²-10q+3=0    D=64     √D=8

q=1/3 ∈        q=3 ∉

b₁*(1+(1/3)³)=112

b₁*(1+(1/27)=112

b₁*1¹/₂₇=112

b₁*(28/27)=112 ×(27/28)

b₁=112*27/28=4*27=108

b₁=108

b₂=108*(1/3)=36

b₃=36*(1/3)=12

b₄=12*(1/3)=4.

Answer 2

Позначимо перше число спадної геометричної прогресії як "a", а знаменник як "r".

Тоді чотири числа спадної геометричної прогресії будуть: a, ar, ar^2, a*r^3

За умовою задачі, сума крайніх чисел дорівнює 112: a + a*r^3 = 112 .......(1)

А сума середніх чисел дорівнює 48: ar + ar^2 = 48 .......(2)

Ми маємо систему з двох рівнянь (1) і (2) з двома невідомими "a" та "r". Розв'язуємо цю систему рівнянь:

З (2) виразимо "a" через "r": a = 48/(r + r^2) .......(3)

Підставимо значення "a" з (3) в (1): 48/(r + r^2) + (48/(r + r^2))*r^3 = 112

48 + 48r^3 = 112(r + r^2)

48r^3 - 112r^2 + 112r - 48 = 0

З цього рівняння ми можемо знайти значення "r" за допомогою числових методів, таких як метод Ньютона або метод бісекції.

Отримавши значення "r", ми можемо підставити його в рівняння (3), щоб знайти значення "a".

Ці значення "a" та "r" будуть утворювати шукану спадну геометричну прогресію.