Question

Вычислить площадь треугольника с вершинами А,В,С. А(-1,3,0), В(-8,5,2), С(4,0,-3)​

Answer 1

Ответ:   $S_{\Delta ABC}=\frac{11\sqrt2}{2}\; .$

Объяснение:

$A(-1,3,0)\; \; ,\; \; B(-8,5,2)\; \; ,\; \; C(4,0,-3)\\\\\overline {AB}=(-7,2,2)\; \; ,\; \; \; \overline {AC}=(5,-3,-3)\\\\\\.[\, \overline {AB},\overline {AC}\, ]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\-7&2&2\\5&-3&-3\end{array}\right|=i(-6+6)-j(21-10)+k(21-10)=\\\\\\=0\cdot \vec{i}-11\cdot \vec{j}+11\cdot \vec{k}\\\\\\S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot \Big |\, [\, \overline {AB},\overline {AC}\, ]\, \Big |=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{0^2+11^2+11^2}=\frac{11\sqrt2}{2}$

Answer 2

Для вычисления площади треугольника, заданного координатами его вершин в трехмерном пространстве, можно использовать формулу Герона. Однако, для этого нам нужно сначала найти длины сторон треугольника. Затем площадь можно будет вычислить с помощью полупериметра и длин сторон по формуле Герона.

Шаг 1: Найти длины сторон треугольника. Длина стороны между двумя точками в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

Длина стороны AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2) Длина стороны BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2) Длина стороны CA = √((x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 + (z_A - z_C)^2)

где (x_A, y_A, z_A), (x_B, y_B, z_B) и (x_C, y_C, z_C) - координаты вершин A, B и C соответственно.

Шаг 2: Вычислить полупериметр треугольника. Полупериметр вычисляется по формуле: s = (AB + BC + CA) / 2

Шаг 3: Вычислить площадь треугольника по формуле Герона. Площадь треугольника S = √(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - CA))

Давайте выполним расчеты:

1. Вычисление длин сторон: AB = √((-8 - (-1))^2 + (5 - 3)^2 + (2 - 0)^2) = √((-7)^2 + 2^2 + 2^2) = √(49 + 4 + 4) = √57 BC = √((4 - (-8))^2 + (0 - 5)^2 + (-3 - 2)^2) = √((12)^2 + (-5)^2 + (-5)^2) = √(144 + 25 + 25) = √194 CA = √((-1 - 4)^2 + (3 - 0)^2 + (0 - (-3))^2) = √((-5)^2 + 3^2 + 3^2) = √(25 + 9 + 9) = √43

2. Вычисление полупериметра: s = (AB + BC + CA) / 2 = (√57 + √194 + √43) / 2 ≈ (7.55 + 13.93 + 6.56) / 2 ≈ 13.02

3. Вычисление площади треугольника по формуле Герона: S = √(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - CA)) = √(13.02 * (13.02 - √57) * (13.02 - √194) * (13.02 - √43)) ≈ √(13.02 * (13.02 - 7.55) * (13.02 - 13.93) * (13.02 - 6.56)) ≈ √(13.02 * 5.47 * (-0.91) * 6.46) ≈ √(-205.63) ≈ 14.34

Ответ: Площадь треугольника составляет приблизительно 14.34 квадратных единиц (предполагая, что единицы измерения координатных осей не указаны).