Question

(x^2-x+1)^4-8x^2(x^2-x+1)^2+16x^4=0 Даю 54 балла за правильное решение, пожалуйста без обмана, надо срочно

Answer 1

(x²-x+1)⁴-8x²(x²-x+1)²+16x⁴=0

Соберем левую часть в формулу. а²-2ав+в²=(а-в)²

(х²-х+1)²-4х²=0, разложим левую часть по формуле а²-в²=(а-в)*(а+в), получим (х²-х+1)²-4х²=((х²-х+1)-2х)*((х²-х+1)+2х)

((х²-х+1)-2х)*((х²-х+1)+2х)=0

((х²-3х+1))*((х²+х+1))=0, откуда (х²-3х+1)=0, х=(3±√(9-4))/2=(3±√5)/2

х²+х+1=0, дискриминант равен 1-4 меньше нуля. корней нет

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

Выпишем его еще раз для удобства:

$(x^2 - x + 1)^4 - 8x^2(x^2 - x + 1)^2 + 16x^4 = 0$

Обозначим $(x^2 - x + 1)$ за $a$, чтобы упростить запись:

$a^4 - 8x^2a^2 + 16x^4 = 0$

Факторизуем полученное уравнение:

$a^4 - 8x^2a^2 + 16x^4 = (a^2 - 4x^2)^2$

Теперь подставим обратно выражение для $a$:

$(x^2 - x + 1)^4 - 8x^2(x^2 - x + 1)^2 + 16x^4 = (x^2 - x + 1)^2 - 4x^2)^2 = 0$

Теперь у нас есть квадрат разности двух выражений, равный нулю. Это произойдет только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю:

1. $x^2 - x + 1 - 2x = 0$

2. $x^2 - x + 1 + 2x = 0$

Решим каждое из этих квадратных уравнений:

1. $x^2 - 3x + 1 = 0$

Применяем квадратное уравнение: $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

2. $x^2 + x + 1 = 0$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант $D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$, и он отрицателен.

Таким образом, уравнение имеет два комплексных корня $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ и $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

Проверка:

Подставим первый корень $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ в исходное уравнение:

$(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^2 - \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{4} - \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + 1$

$= \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} - \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \frac{4}{4} = \frac{11 + 5\sqrt{5}}{4} \neq 0$

Теперь подставим второй корень $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$:

$(\frac{3 - \sqrt{5}}{2})^2 - \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{4} - \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + 1$

$= \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} - \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{4}{4} = \frac{11 - 5\sqrt{5}}{4} \neq 0$

Таким образом, оба корня не являются корнями исходного уравнения.

Итак, уравнение $(x^2 - x + 1)^4 - 8x^2(x^2 - x + 1)^2 + 16x^4 = 0$ не имеет действительных корней.