Question

Для натуральних чисел m,n,k виконується нерівність m:n>m+k:n+k доведіть що m>n

Answer 1

$\displaystyle \dfrac{m}{n}>\dfrac{m+k}{n+k}~~~\Rightarrow~~~\dfrac{m}{n}>\dfrac{m-n+n+k}{n+k}~~~\Rightarrow~~\dfrac{m}{n}>\dfrac{m-n}{n+k}+1\\ \\ \\ \dfrac{m}{n}-1>\dfrac{m-n}{n+k}~\Rightarrow~ \dfrac{m-n}{n}-\dfrac{m-n}{n+k}>0~\Rightarrow~ (m-n)\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}\right)>0\\ \\ \\ (m-n)\cdot \dfrac{n+k-n}{n(n+k)}>0~~~\Rightarrow~~~\dfrac{k}{n(n+k)}\cdot(m-n)>0$

$\dfrac{k}{n(n+k)}$ - натуральное число, разделим последнее неравенство на число $\dfrac{k}{n(n+k)}$, получим $m-n>0$ откуда $m>n$

Доказано.

Answer 2

Для доведення нерівності m:n > m+k:n+k, ми можемо скористатися властивостями натуральних чисел та алгебри.

Почнемо з виразу m:n > m+k:n+k. Можна помножити обидві частини нерівності на (n+k), так як це додатне число:

(m:n)(n+k) > (m+k:n+k)(n+k)

Розкривши дужки, отримаємо:

m(n+k) > (m+k)n

Поділимо обидві частини нерівності на n:

mn + mk > mn + kn

Відкинемо однакові доданки (mn) з обох боків нерівності:

mk > kn

Поділимо обидві частини нерівності на k (k ≠ 0):

m > n

Таким чином, ми отримали нерівність m > n. Це доводить, що якщо м:n > m+k:n+k, то m > n.