Question

Доведіть, що для будь-яких додатних чисел a i b виконується нерівність 

Answer 1

Запишем неравенство  о средних.
(x+y)>= 2*√x*y  x>0 y>0
применим его:
(a^2+b)>=2√(a^2*b)
(1/a+1/b^2)>=2√(1/a*b^2)
Переумножая почленно получим:
(a^2+b)*(1/a +1/b^2)>=4*√(a^2*b/a*b^2)=4√(a/b)
ЧТД.

Answer 2

Для будь-яких додатних чисел a і b ми маємо нерівність:

a + b ≥ 2√(ab)

Давайте доведемо це.

Ми почнемо з використання нерівності арифметичного та геометричного середнього. Згідно з цим принципом, середнє арифметичне двох додатних чисел завжди більше або рівне їх геометричного середнього. Формально, це виражається так:

2√(ab) ≤ a + b

Тепер, щоб довести нерівність, нам потрібно показати, що a + b ≥ 2√(ab).

Для цього піднесемо обидві частини нерівності до квадрата:

(a + b)² ≥ (2√(ab))²

Розгорнемо квадрати:

a² + 2ab + b² ≥ 4ab

Тепер віднімемо 4ab від обох боків:

a² - 2ab + b² ≥ 0

(a - b)² ≥ 0

Ця нерівність є правдивою для будь-яких дійсних чисел, тому наша вихідна нерівність також є правдивою.

Отже, ми довели, що для будь-яких додатних чисел a і b виконується нерівність:

a + b ≥ 2√(ab)