Question

Доведіть, що для довільних дійсних чисел виконується нерівність: x² – 2xy + 2020y² ≥0

Answer 1

x² -2xy +2020y² = x² - 2xy + y² + 2019y² = (x-y)² + 2019y² ≥ 0 для довільних х та у.

Answer 2

Для доведення даної нерівності, давайте розглянемо вираз x² - 2xy + 2020y² окремо. Метою буде показати, що він завжди більше або дорівнює нулю.

Розглянемо вираз D = x² - 2xy + 2020y². Це дискримінант квадратного тричлена, який можна розглядати як дискримінант квадратного рівняння ax² + bx + c = 0, де a = 1, b = -2y і c = 2020y². Для того, щоб квадратне рівняння мало дійсні корені (тобто було би можливим виразити x як функцію від y), дискримінант має бути невід'ємним:

D = b² - 4ac ≥ 0.

Підставляючи значення a, b і c:

(-2y)² - 4 * 1 * 2020y² ≥ 0, 4y² - 8080y² ≥ 0, -8076y² ≥ 0.

Так як множник -8076 є негативним, множення на нього змінює напрям нерівності:

8076y² ≤ 0.

Множник 8076 додатній, тому ми можемо ділити обидві сторони нерівності на 8076 без зміни напряму нерівності:

y² ≤ 0.

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа не може бути менше або дорівнювати нулю, то єдиний спосіб, як це може статися, це коли y = 0. Таким чином, вираз D = x² - 2xy + 2020y² більше або дорівнює нулю при будь-яких дійсних значеннях x та y.

Отже, ми довели, що x² - 2xy + 2020y² ≥ 0 для будь-яких дійсних чисел x та y.