Question

Найдите целое значение параметра a, при котором сумма квадратов корней уравнения x2 + x − 2ax + 2 + a2 = 0 принимает наименьшее значение.

Answer 1

${x1}^{2} + {x2}^{2} = {(x1 + x2)}^{2} - 2x1x2 \\ \\ x1 + x2 = - (1 - 2a) = 2a - 1 \\ x1x2 = {a}^{2} + 2 \\ \\ {(x1 + x2)}^{2} - 2x1x2 = {(2a - 1)}^{2} - 2 {a}^{2} - 4 = 4 {a}^{2} - 4a + 1 - 2 {a}^{2} - 4 = 2 {a}^{2} - 4a - 3$

Наименьшее значение кв. параболы с старшим коеффициентом >0 в вершине.

Возьмем систему координат с осями Оа и Оу

$a{v}= \frac{ - b}{2a} = \frac{4}{4} = 1\\ y_{v} = 2 - 4 - 3 = - 5$

Нас интересует у

1. Значит,мы нашли ответ -5.

Проверим, подходит ли нам ответ:

$D=b^{2}-4ac=(1-2a)^{2}-4(2+a^{2})=4a^{2}-4a+1-8-4a^{2}=-4a-7$

При а=-5 D=20-7=13

Ответ: -5

Answer 2

Если уравнение имеет корни, то х₁+х₂=-1+2а, х₁*х₂=2+а²

Сумма же квадратов корней 2а²-4а-3 принимает наименьшее знчение при  а = (4*2*(-3)-16)/(4*2)=-3-2=-5

т.к. (х₁+х₂)²=(-1+2а)²; х²₁+х²₂=(-1+2а)²-2х₁*х₂=(-1+2а)²-2*(2+а²)=

1-4а+4а²-4-2а²=2а²-4а-3

Ответ а= -5

Answer 3

Для нахождения целого значения параметра a, при котором сумма квадратов корней данного уравнения принимает наименьшее значение, нам необходимо использовать производную.

Пусть корни уравнения будут x1 и x2. Согласно формуле Виета, сумма корней равна x1 + x2 = -1 и их произведение равно x1 * x2 = 2 + a^2.

Мы хотим минимизировать сумму квадратов корней, то есть нам нужно минимизировать (x1^2 + x2^2). Заметим, что (x1 + x2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2.

Теперь мы можем выразить x1^2 + x2^2 через известные значения: (x1 + x2)^2 = (-1)^2 = 1 x1^2 + 2x1x2 + x2^2 = 1 x1^2 + x2^2 = 1 - 2x1x2

Заменим x1x2 в последнем уравнении на выражение из формулы Виета: x1^2 + x2^2 = 1 - 2(2 + a^2) = 1 - 4 - 2a^2 = -3 - 2a^2

Теперь нам нужно найти значение параметра a, при котором -3 - 2a^2 принимает наименьшее значение. Мы хотим, чтобы a^2 было максимальным, чтобы -2a^2 было минимальным.

Максимальное значение a^2 будет достигнуто, если a равно наибольшему целому числу, ближайшему к нулю. В данном случае, наибольшее целое число, ближайшее к нулю, равно 0.

Таким образом, для нахождения наименьшего значения суммы квадратов корней, параметр a должен быть равен 0.