Question

Доказать: x^2+y^2+15>6x+4y С объяснением пожалуйста

Answer 1

Переносим все в левую часть неравенства

$x^2-6x+y^2-4y+15>0\\ \\ x^2-6x+9+y^2-4y+4+2>0\\ \\ (x-3)^2+(y-4)^2+2>0$

Это неравенство выполняется для всех x,y ∈ R

Доказано.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, нужно преобразовать его таким образом, чтобы все члены с переменными были на одной стороне, а все числовые члены — на другой. Для этого выполним следующие шаги:

1. Сначала перенесем все члены с переменными на одну сторону неравенства, а числовые члены на другую:

x^2 + y^2 - 6x - 4y + 15 > 0

2. Теперь перегруппируем члены так, чтобы все переменные собрались в квадратные выражения:

x^2 - 6x + y^2 - 4y + 15 > 0

3. Далее, разложим квадратные выражения на множители, добавляя и вычитая некоторые константы, чтобы завершить квадрат:

(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) + 15 - 9 - 4 > 0

Заметим, что мы добавили и вычли соответствующие части, чтобы получить полные квадраты в скобках.

4. Продолжим упрощение выражения:

(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 2 > 0

Теперь у нас есть сумма двух квадратов, каждый из которых неотрицателен (так как это сумма квадратов, а квадрат любого числа неотрицателен). Следовательно, (x - 3)^2 и (y - 2)^2 всегда больше или равны нулю. А так как оба квадрата не равны нулю одновременно (так как x и y - переменные), то их сумма тоже всегда больше или равна нулю.

5. Таким образом, мы получили:

(x - 3)^2 + (y - 2)^2 ≥ 0

6. Из этого следует:

(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 2 > 0

Таким образом, мы доказали исходное неравенство:

x^2 + y^2 + 15 > 6x + 4y

и объяснили, что оно верно для всех значений переменных x и y.