Question

ДОКАЗАТЬ:cos(a)*cos(b)=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]ДОКАЗАТЬ:sin(a)*cos(a)=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]ДОКАЗАТЬ:sin(a)+sin(b)=2sin(a+b)/2*cos(a-b)/2

Answer 1

а зачем это доказывать если это формулы преобразования произведения в сумму??

 

 

Answer 2

Для доказательства этих тождеств мы будем использовать формулы сложения и вычитания для функций синус и косинус.

1. Доказательство тождества cos(a)*cos(b)=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]:

Начнем с левой части тождества: cos(a)*cos(b)

Используем формулу сложения для косинуса: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)

Теперь, выразим cos(a)*cos(b) из этого уравнения: cos(a)*cos(b) = cos(a+b) + sin(a)*sin(b)

Теперь, используем формулу вычитания для косинуса: cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)

Теперь, выразим cos(a)*cos(b) из этого уравнения: cos(a)*cos(b) = cos(a-b) - sin(a)*sin(b)

Теперь, сложим два полученных уравнения: cos(a)*cos(b) + cos(a)*cos(b) = cos(a+b) + cos(a-b)

Упростим левую часть: 2*cos(a)*cos(b) = cos(a+b) + cos(a-b)

Теперь, разделим обе части на 2: cos(a)*cos(b) = 1/2[cos(a+b) + cos(a-b)]

Таким образом, мы доказали тождество cos(a)*cos(b) = 1/2[cos(a+b) + cos(a-b)].

2. Доказательство тождества sin(a)*cos(a) = 1/2[sin(a+b) + sin(a-b)]:

Начнем с левой части тождества: sin(a)*cos(a)

Используем формулу сложения для синуса: sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)

Теперь, выразим sin(a)*cos(a) из этого уравнения: sin(a)*cos(a) = sin(a+b) - cos(a)*sin(b)

Теперь, используем формулу вычитания для синуса: sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b)

Теперь, выразим sin(a)*cos(a) из этого уравнения: sin(a)*cos(a) = sin(a-b) + cos(a)*sin(b)

Теперь, сложим два полученных уравнения: sin(a)*cos(a) + sin(a)*cos(a) = sin(a+b) + sin(a-b)

Упростим левую часть: 2*sin(a)*cos(a) = sin(a+b) + sin(a-b)

Теперь, разделим обе части на 2: sin(a)*cos(a) = 1/2[sin(a+b) + sin(a-b)]

Таким образом, мы доказали тождество sin(a)*cos(a) = 1/2[sin(a+b) + sin(a-b)].

3. Доказательство тождества sin(a) + sin(b) = 2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2):

Начнем с правой части тождества: 2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

Используем формулу сложения для синуса: sin(a+b) = 2*sin((a+b)/2)*cos((a+b)/2)

Теперь, выразим sin(a+b) из этого уравнения: 2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2) = sin(a+b)

Теперь, выразим sin(b) из этого уравнения: sin(a+b) = sin(a) + sin(b)

Таким образом, мы доказали тождество sin(a) + sin(b) = 2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2).

Итак, мы успешно доказали все три тождества.