Question

100б. Доказать, что а кратно m, если а=47^4+70^3+93^4m=23​

Answer 1

$a=47^4+70^3+93^4=47^4+2\cdot 93^2\cdot47^2+93^4-2\cdot 93^2\cdot47^2+70^3=\\ \\ =(47^2+93^2)^2-2\cdot (93\cdot 47)^2+70^3=((47+93)^2-2\cdot 47\cdot 93)^2-\\ \\ -2\cdot (93\cdot 47)^2+70^3=(140^2-2\cdot 47\cdot 93)^2-2\cdot (93\cdot 47)^2+70^3=\\ \\ =140^4-4\cdot 47\cdot 93\cdot 140^2+4\cdot (47\cdot 93)^2-2\cdot (93\cdot 47)^2+70^3=\\ \\ =16\cdot 70^4-4\cdot 47\cdot 93\cdot 140^2+2\cdot (93\cdot 47)^2+70^3=\\ \\ =70^3\cdot (16\cdot 70+1)-4\cdot 47\cdot 93\cdot 140^2+2\cdot (93\cdot 47)^2=$

Среди трех слагаемых нет такого разложения на простые множители, имеющееся сомножитель 23, т.е. число а не кратно 23

Answer 2

Для того чтобы доказать, что а кратно m, нужно показать, что а делится на m без остатка, то есть а mod m = 0.

Мы имеем:

а = 47^4 + 70^3 + 93^4, m = 23.

Теперь посчитаем а mod m:

а mod m = (47^4 + 70^3 + 93^4) mod 23.

Для вычисления такого большого числа мы можем использовать свойство модуля, что (а + b) mod m = (а mod m + b mod m) mod m.

Таким образом, разобьем вычисление на несколько этапов:

1. Вычислим (47^4 mod 23): 47^4 = 4879681. 4879681 mod 23 = 0.

2. Вычислим (70^3 mod 23): 70^3 = 343000. 343000 mod 23 = 0.

3. Вычислим (93^4 mod 23): 93^4 = 707281. 707281 mod 23 = 0.

Теперь сложим результаты:

(0 + 0 + 0) mod 23 = 0 mod 23 = 0.

Таким образом, мы получаем, что а mod m = 0, что означает, что а кратно m.