Question

Докажите справедливость равенства: (n-2)(n-1)n(n+1)+1=(n^2-n-1)^2

Answer 1

(n-2)(n-1)n(n+1)+1 = ((n-2)(n+1))·((n-1)n)) + 1 = (n²-n-2)(n² -n ) +1 =      

  =    (n²-n)² - 2(n²-n) +1  = ((n²-n) -1)² = (n² -n -1)²

Answer 2

Для доказательства данного равенства, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай (n=1). Подставим n=1 в обе части равенства: Левая часть: (1-2)(1-1)1(1+1) + 1 = (-1)(0)(2) + 1 = 0 + 1 = 1 Правая часть: (1^2-1-1)^2 = (-1)^2 = 1

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что равенство выполняется для некоторого положительного целого числа k, т.е. (k-2)(k-1)k(k+1) + 1 = (k^2-k-1)^2.

Шаг 3: Доказательство для (k+1). Теперь докажем, что равенство выполняется для k+1: ( (k+1) - 2 ) ( (k+1) - 1 ) ( k+1 ) ( (k+1) + 1 ) + 1 = ((k+1)^2 - (k+1) - 1)^2

Выполним раскрытие скобок в левой и правой части уравнения:

Левая часть: (k-1) k (k+1) (k+2) + 1 (k^2 - k) (k+2) + 1 k^3 + 2k^2 - k^2 - 2k + 1 k^3 + k^2 - 2k + 1

Правая часть: ((k+1)^2 - (k+1) - 1)^2 (k^2 + 2k + 1 - k - 1)^2 (k^2 + k)^2 k^4 + 2k^3 + k^2

Теперь сравним левую и правую части уравнения:

k^3 + k^2 - 2k + 1 = k^4 + 2k^3 + k^2

Для того чтобы завершить доказательство, нужно показать, что правая часть действительно равна левой. Мы можем заметить, что правая и левая части совпадают.

Таким образом, предположение индукции верно для k+1, и равенство выполняется для всех натуральных чисел n.