Question

Найдите неопределенные интегралы: 1) ∫(4х³-6х²-4х+3)dx 2)∫x⁴-х+6)/х dx 3)∫(х⁴-х³-3х²+1)dx 4)∫x⁴(x-1)dx

Answer 1

$\boxed {\; \int x^{n}\, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\; }\\\\\\\\1)\; \; \int (4x^3-6x^2-4x+3)\, dx=\frac{4x^4}{4}-\frac{6x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+3x+C=\\\\=x^4-2x^3-2x^2+3x+C\\\\\\2)\; \; \int \frac{x^4-x+6}{x}\, dx=\int (x^3-1+\frac{6}{x})\, dx=\frac{x^4}{4}-x+6\, ln|x|+C\\\\\\3)\; \; \int (x^4-x^3-3x^2+1)\, dx=\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{4}-x^3+x+C\\\\\\4)\; \; \int x^4(x-1)\, dx=\int (x^5-x^4)\, dx=\frac{x^6}{6}-\frac{x^5}{5}+C$

Answer 2

Давайте найдем неопределенные интегралы для каждого из представленных выражений:

1. ∫(4х³ - 6х² - 4х + 3)dx

Чтобы найти интеграл, мы просто интегрируем каждый член по отдельности:

∫(4х³ - 6х² - 4х + 3)dx = ∫4х³ dx - ∫6х² dx - ∫4х dx + ∫3 dx

Теперь найдем интеграл каждого члена:

∫4х³ dx = (4/4) * x^4 + C₁ = x^4 + C₁, где С₁ - произвольная постоянная интегрирования.

∫6х² dx = (6/3) * x^3 + C₂ = 2x^3 + C₂, где С₂ - произвольная постоянная интегрирования.

∫4х dx = (4/2) * x^2 + C₃ = 2x^2 + C₃, где С₃ - произвольная постоянная интегрирования.

∫3 dx = 3x + C₄, где С₄ - произвольная постоянная интегрирования.

Итак, окончательный ответ:

∫(4х³ - 6х² - 4х + 3)dx = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 3x + C, где C = C₁ + C₂ + C₃ + C₄ - общая произвольная постоянная интегрирования.

2. ∫(x⁴ - х + 6)/х dx

Для этого интеграла нужно сначала разделить x⁴ на x, чтобы привести его к более удобному виду для интегрирования:

∫(x⁴ - х + 6)/х dx = ∫(x³ - 1 + 6/x) dx

Теперь интегрируем каждый член по отдельности:

∫x³ dx = (1/4) * x^4 + C₁ = (1/4) * x^4 + C₁, где С₁ - произвольная постоянная интегрирования.

∫1 dx = x + C₂, где С₂ - произвольная постоянная интегрирования.

∫(6/x) dx = 6 * ln|x| + C₃, где С₃ - произвольная постоянная интегрирования, а ln|x| - натуральный логарифм абсолютного значения x.

Итак, окончательный ответ:

∫(x⁴ - х + 6)/х dx = (1/4) * x^4 + x - 6 * ln|x| + C, где C = C₁ + C₂ + C₃ - общая произвольная постоянная интегрирования.

3. ∫(х⁴ - х³ - 3х² + 1)dx

Просто интегрируем каждый член по отдельности:

∫х⁴ dx = (1/5) * x^5 + C₁ = (1/5) * x^5 + C₁, где С₁ - произвольная постоянная интегрирования.

∫х³ dx = (1/4) * x^4 + C₂ = (1/4) * x^4 + C₂, где С₂ - произвольная постоянная интегрирования.

∫(3х²) dx = 3 * (1/3) * x^3 + C₃ = x^3 + C₃, где С₃ - произвольная постоянная интегрирования.

∫1 dx = x + C₄, где С₄ - произвольная постоянная интегрирования.

Итак, окончательный ответ:

∫(х⁴ - х³ - 3х² + 1)dx = (1/5) * x^5 + (1/4) * x^4 + x^3 + x + C, где C = C₁ + C₂ + C₃ + C₄ - общая произвольная постоянная интегрирования.

4. ∫x⁴(x - 1)dx

Для данного интеграла нужно выполнить умножение x⁴ на (x - 1):

∫x⁴(x - 1)dx = ∫(x^5 - x^4)dx

Теперь интегрируем каждый член по отдельности:

∫x^5 dx = (1/6) * x^6 + C₁ = (1/6) * x^6 + C₁, где С₁ - произвольная постоянная интегрирования.

∫x^4 dx = (1/5) * x^5 + C₂ = (1/5) * x^5 + C₂, где С₂ - произвольная постоянная интегрирования.

Итак, окончательный ответ:

∫x⁴(x - 1)dx = (1/6) * x^6 - (1/5) * x^5 + C, где C = C₁ + C₂ - общая произвольная постоянная интегрирования.