Question

Вычислить значение производной функции y=(3x+1)cos3(x2+2x+1)+П3 в точках x0=-1

Answer 1

Ответ:

y'=-3sin3x

y'(-п/6)=-3sin(-3П/6)=3sinП/2=3

Answer 2

Для вычисления значения производной функции y=(3x+1)cos(3(x^2+2x+1))+π/3 в точке x₀ = -1, мы сначала найдем производную функции, а затем подставим x₀ в полученное выражение.

Найдем производную функции y по x. Для этого воспользуемся правилом производной произведения функций и правилом производной композиции функций. Пусть u(x) = 3x + 1 и v(x) = cos(3(x^2 + 2x + 1)) + π/3. Тогда:

dy/dx = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x),

где u'(x) и v'(x) - производные функций u(x) и v(x) соответственно.

Вычислим производные:

u'(x) = 3, (производная линейной функции) v'(x) = -sin(3(x^2 + 2x + 1)) * 6x - 6, (производная композиции функций)

Подставим найденные значения производных в выражение для dy/dx:

dy/dx = 3 * (cos(3(x^2 + 2x + 1)) + π/3) + (3x + 1) * (-sin(3(x^2 + 2x + 1)) * 6x - 6).

Теперь мы можем подставить x₀ = -1 в выражение для dy/dx и вычислить значение производной в точке x₀:

dy/dx |(x₀ = -1) = 3 * (cos(3((-1)^2 + 2(-1) + 1)) + π/3) + (3(-1) + 1) * (-sin(3((-1)^2 + 2(-1) + 1)) * 6(-1) - 6).

Выполняя вычисления, получаем:

dy/dx |(x₀ = -1) = 3 * (cos(3(1 - 2 + 1)) + π/3) + (3(-1) + 1) * (-sin(3(1 - 2 + 1)) * 6(-1) - 6) = 3 * (cos(3) + π/3) + (2) * (-sin(3) * (-6) - 6) = 3 * (cos(3) + π/3) + 12 * (sin(3) + 1).

Таким образом, значение производной функции y=(3x+1)cos(3(x^2+2x+1))+π/3 в точке x₀ = -1 равно 3 * (cos(3) + π/3) + 12 * (sin(3) + 1).