Question

Доказать, что линейная функция f(x)=ax при a>0 возрастающая, при a<0 убывающая

Answer 1

Функция возрастает, если её производная положительна, и убывает, если отрицательна. Найдём производную:

$f(x)=ax\\f'(x)=(ax)'=ax'=a$

Теперь видно, что если a>0, то производная положительна, а значит, функция возрастает, а если a<0, то производная отрицательна и функция убывает.

Answer 2

Для доказательства того, что линейная функция f(x) = ax при a > 0 возрастающая, и при a < 0 убывающая, мы можем использовать определение возрастания и убывания функции.

Пусть у нас есть две точки x₁ и x₂, где x₁ < x₂.

1. Для a > 0 (положительного значения a): Предположим, что a > 0. Тогда f(x₁) = ax₁ и f(x₂) = ax₂. Так как x₁ < x₂, то ax₁ < ax₂, так как положительное число, умноженное на меньшее положительное число, будет меньше, чем то же число, умноженное на большее положительное число. Следовательно, f(x₁) < f(x₂), что означает возрастание функции f(x) = ax при a > 0.

2. Для a < 0 (отрицательного значения a): Предположим, что a < 0. Тогда f(x₁) = ax₁ и f(x₂) = ax₂. Так как x₁ < x₂, то ax₁ > ax₂, так как отрицательное число, умноженное на меньшее положительное число, будет больше, чем то же число, умноженное на большее положительное число (или отрицательное число). Следовательно, f(x₁) > f(x₂), что означает убывание функции f(x) = ax при a < 0.

Таким образом, мы доказали, что при a > 0 функция f(x) = ax возрастающая, а при a < 0 убывающая.