Question

4^x-6*2^x+8≥0 розв'яжіть нерівність​

Answer 1

$4^{x}-6\cdot 2^{x}+8\geq 0\\\\t=2^{x}>0\; \; ,\; \; \; t^2-6t+8\geq 0\; \; ,\; \; t_1=2\; ,\; t_2=4\; \; (teorema\; Vieta)\\\\(t-2)(t-4)\geq 0\; \; \qquad +++[\, 2\, ]---[\, 4\, ]+++\\\\t\leq 2\; \; \; ili\; \; \; t\geq 4\\\\2^{x}\leq 2^1\; \; \; ili\; \; \; 2^{x}\geq 2^2\\\\x\leq 1\; \; \; ili\; \; \; x\geq 2\\\\Otvet:\; \; x\in (-\infty ;1\, ]\cup [\, 2;+\infty )\; .$

Answer 2

Для розв'язання даної нерівності, давайте проведемо деякі підстановки, щоб спростити вираз.

Поставимо y = 2^x. Тоді можемо переписати дану нерівність у наступному вигляді:

y^2 - 6y + 8 ≥ 0.

Тепер розв'яжемо цю квадратну нерівність за допомогою факторизації:

(y - 2)(y - 4) ≥ 0.

Тепер ми можемо використовувати правило добутку, щоб знайти значення y:

1. y - 2 ≥ 0 і y - 4 ≥ 0: y ≥ 2 і y ≥ 4.

   Замінивши y на вираз 2^x, отримуємо: 2^x ≥ 2 і 2^x ≥ 4.

   Знаючи, що 2^x ≥ 2, ми можемо зазначити, що x ≥ 1.

   Також, 2^x ≥ 4, і це виконується лише для x ≥ 2.

   Отже, розв'язком першої частини нерівності є x ≥ 2.

2. y - 2 ≤ 0 і y - 4 ≤ 0: y ≤ 2 і y ≤ 4.

   Замінивши y на вираз 2^x, отримуємо: 2^x ≤ 2 і 2^x ≤ 4.

   Знаючи, що 2^x ≤ 2, ми можемо зазначити, що x ≤ 1.

   Також, 2^x ≤ 4, і це виконується для всіх значень x.

   Отже, розв'язком другої частини нерівності є будь-яке значення x.

Загальний розв'язок нерівності 4^x - 6*2^x + 8 ≥ 0: x ≥ 2 або x ≤ 1.