Question

А) решите уравнение 2cos2x-sin2x=1 б) укажите корни этого уравнение, принадлежащие отрезку [-п/2;п/2]​

Answer 1

$a)\ 2cos2x-sin2x=1\\2(cos^2x-sin^2x)-2sinxcosx=1\\2cos^2x-2sinxcosx-2sin^2x-1=0\\1=cos^2x+sin^2x\\2cos^2x-2sinxcosx-2sin^2x-cos^2x-sin^2x=0\\cos^2x-2sinxcosx-3sin^2x=0\ : cos^2x\neq 0\\1-2*\frac{sinx}{cosx}-3*(\frac{sinx}{cosx})^2=0\\-3tg^2x-2tgx+1=0\\3tg^2x+2tgx-1=0\\D=4+12=16=4^2\\tgx=\frac{-2+4}{6}=\frac{1}{3} \\x_1=arctg(\frac{1}{3})+\pi n,\ n \in Z\\tgx=\frac{-2-4}{6}=-1\\x_2=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n \in Z$

б) ищем корни на [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]. Чертим тригонометрическую окружность.

Решение во вложении.

$x_1=-\frac{\pi}{4};\ x_2=arctg(\frac{1}{3})$

Ответ:

$a)\ x_1=arctg(\frac{1}{3})+\pi n,\ n \in Z\\ x_2=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n \in Z$

б) $\ -\frac{\pi}{4};\ arctg(\frac{1}{3})$

Answer 2

А) Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы переписать выражения в более простой форме.

Начнем с уравнения: 2cos(2x) - sin(2x) = 1

Используем тождество cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) и заменим его в уравнении: 2(1 - 2sin^2(x)) - sin(2x) = 1

Раскроем скобки и упростим выражение: 2 - 4sin^2(x) - sin(2x) = 1

Разложим sin(2x) на два слагаемых: 2 - 4sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 1

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: -4sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + 1 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно sin(x): -4sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + 1 = 0

Б) Чтобы найти корни уравнения, принадлежащие отрезку [-π/2; π/2], мы можем рассмотреть значения sin(x) на этом интервале и найти соответствующие значения x.

На отрезке [-π/2; π/2] значение sin(x) находится в диапазоне [-1; 1]. Мы можем решить уравнение -4sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + 1 = 0, используя это ограничение.

Однако, данное уравнение содержит и косинус (cos(x)), и его решение может быть сложным аналитически. Для нахождения точных значений корней, требуется более сложный анализ или численные методы.

Если вам необходимо найти корни численно, вы можете воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления (бисекции), чтобы приближенно найти значения x, удовлетворяющие уравнению на указанном отрезке.