Question

Докажите, что выражение 1009!×1010!×2019!×2020! не является квадратом натурального числа (n!= 1×2×3×...×n)​

Answer 1

$1009!\cdot 1010!\cdot 2019!\cdot 2020!=1010\cdot (1009!)^2\cdot 2020\cdot (2019!)^2=\\ \\ \\ =1010\cdot 2\cdot 1010\cdot (1009!)^2\cdot (2019!)^2=2\cdot (1009!\cdot 2019!\cdot 1010)^2$

Из двойки извлечь полный квадрат никак, т.е. выражение не является квадратом.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

1009! × 1010! × 2019! × 2020! = 1009! × 1009! × 1010 × 2019! ×2019! × 2020 =  (1009! × 1019!)² × 1010 × 2020 = (1009!× 2019! × 10)²  × 101 × 202 = (1009!× 2019! × 10)²  × 101 ² × 2 = (1009!× 2019! × 10 × 101)²  × 2.

Так как число 2 не может быть квадратом натурального числа, то и всё произведение не может быть квадратом натурального числа.

Answer 3

Для доказательства, что выражение 1009! × 1010! × 2019! × 2020! не является квадратом натурального числа, мы можем воспользоваться аргументами, связанными с разложением факториалов на простые множители.

Обозначим это выражение как N:

N = 1009! × 1010! × 2019! × 2020!

Рассмотрим простые множители в каждом из факториалов:

1. 1009! = 1 × 2 × 3 × ... × 1008 × 1009 В данном случае, самыми большими простыми множителями, которые встречаются в 1009!, будут простые числа из интервала [501, 1009].

2. 1010! = 1 × 2 × 3 × ... × 1009 × 1010 Здесь также самыми большими простыми множителями будут простые числа из интервала [501, 1010].

3. 2019! = 1 × 2 × 3 × ... × 2018 × 2019 В данном случае, самыми большими простыми множителями, которые встречаются в 2019!, будут простые числа из интервала [1009, 2019].

4. 2020! = 1 × 2 × 3 × ... × 2019 × 2020 Здесь также самыми большими простыми множителями будут простые числа из интервала [1009, 2020].

Теперь мы заметим, что каждый простой множитель из интервалов [501, 1009], [501, 1010], [1009, 2019] и [1009, 2020] встречается в этом выражении ровно один раз.

Допустим, что N является квадратом натурального числа. Тогда каждый простой множитель из вышеуказанных интервалов должен встречаться в N в четной степени. Однако в каждом интервале есть хотя бы один простой множитель, который встречается в N только в одной степени (так как простое число из каждого интервала встречается в N только один раз). Это означает, что N не может быть квадратом натурального числа, и мы успешно доказали поставленное утверждение.

Таким образом, выражение 1009! × 1010! × 2019! × 2020! не является квадратом натурального числа.