Question

Для кожного а розв'язати рівняння: 1) 25^x+(2a-8)*5^x+15-10a=02) 36^x+(a-1)*6^x+a-2a^2=0*Рівняння с параметром

Answer 1

Ответ:

1) Уравнение x²-(2a-4)x+(a²-25) имеет 1 корень при D = 0.

     D = b²-4ac

     D = (-(2a-4))²-4*1*(a²-25) = 4a²-16a+16-4a²+100

     -16a+116 = 0

     a = 116/16 = 29/4.

   Чтобы было 2 корня, D должно быть больше 0,

   т.е. а<29/4, таких значений бесконечное множество.

2) Уравнение x²-(2a-6)x+(a²-36) имеет не более 1, т.е.1 корень при D = 0, а менее , т.е. ни одного при D < 0.

          D = b²-4ac

     D = (-(2a-6))²-4*1*(a²-36) = 4a²-24a+36-4a²+144

     -24a+180 = 0

     a = 180/24 =15/2 - один корень,

   при a >15/2

Answer 2

1. Розглянемо рівняння:

25^x + (2a - 8) * 5^x + 15 - 10a = 0

Щоб розв'язати його відносно x, спробуємо виділити спільний множник:

5^x * (5^(2x) + (2a - 8)) + 15 - 10a = 0

Тепер замінимо 5^x = t:

t^2 + (2a - 8)t + 15 - 10a = 0

Це квадратне рівняння відносно t. Ми можемо його розв'язати, використовуючи квадратну формулу:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Де a = 1, b = (2a - 8), і c = (15 - 10a). Підставимо ці значення:

t = (-(2a - 8) ± √((2a - 8)^2 - 4(1)(15 - 10a))) / (2(1))

t = (-2a + 8 ± √(4a^2 - 32a + 64 - 60 + 40a)) / 2

t = (-2a + 8 ± √(4a^2 + 8a + 4)) / 2

t = (-2a + 8 ± √((2a + 2)^2)) / 2

t = (-2a + 8 ± (2a + 2)) / 2

Розбиваємо на два випадки:

Випадок 1: t = (-2a + 8 + 2a + 2) / 2 = 10 / 2 = 5 Випадок 2: t = (-2a + 8 - 2a - 2) / 2 = -4a + 6

Тепер підставимо значення t назад у рівняння 5^x = t:

5^x = 5

x = 1

Таким чином, для кожного значення a, рівняння має єдиний розв'язок x = 1.

2. Розглянемо рівняння:

36^x + (a - 1) * 6^x + a - 2a^2 = 0

Знову намагаємося виділити спільний множник:

6^x * (6^(2x) + (a - 1)) + a - 2a^2 = 0

Замінимо 6^x = t:

t^2 + (a - 1)t + a - 2a^2 = 0

Це знову квадратне рівняння. Застосуємо квадратну формулу:

t = (-(a - 1) ± √((a - 1)^2 - 4(1)(a - 2a^2))) / (2(1))

t = (1 - a ± √(a^2 - 2a + 1 - 4a + 8a^2)) / 2

t = (1 - a ± √(8a^2 - 6a + 1)) / 2

Знову розбиваємо на два випадки:

Випадок 1: t = (1 - a + √(8a^2 - 6a + 1)) / 2 Випадок 2: t = (1 - a - √(8a^2 - 6a + 1)) / 2

Підставимо значення t назад у рівняння 6^x = t:

6^x = (1 - a + √(8a^2 - 6a + 1)) / 2

x = log₆((1 - a + √(8a^2 - 6a + 1)) / 2)

Або

6^x = (1 - a - √(8a^2 - 6a + 1)) / 2

x = log₆((1 - a - √(8a^2 - 6a + 1)) / 2)

Отже, для кожного значення a рівняння має два розв'язки x, які обчислюються за допомогою логарифмів.