Question

Докажите равенство при каждом натуральном n 3²+7²+10²...+(4n-1)²=n(16n²+12n-1)/3

Answer 1

Ответ:.......

Объяснение:

Answer 2

Докажем данное равенство по индукции.

Шаг базы: При n = 1: 3² = 1(16(1)² + 12(1) - 1) / 3 9 = (16 + 12 - 1) / 3 9 = 27 / 3 9 = 9

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого k равенство выполняется: 3² + 7² + 10² + ... + (4k-1)² = k(16k² + 12k - 1) / 3

Докажем, что при k + 1 равенство также выполняется: 3² + 7² + 10² + ... + (4k-1)² + (4(k+1)-1)² = (k+1)(16(k+1)² + 12(k+1) - 1) / 3

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

k(16k² + 12k - 1) / 3 + (4(k+1)-1)² = (k+1)(16(k+1)² + 12(k+1) - 1) / 3

Распишем левую и правую части равенства отдельно:

(k(16k² + 12k - 1) + (4(k+1)-1)²) / 3 = ((k+1)(16(k+1)² + 12(k+1) - 1)) / 3

Упростим числитель в левой части:

k(16k² + 12k - 1) + (4k + 3)² = (k+1)(16(k+1)² + 12(k+1) - 1)

Раскроем скобки в обеих частях:

16k³ + 12k² - k + 16k² + 24k + 9 = 16k³ + 48k² + 40k + 16 + 12k² + 12k - k

Сгруппируем слагаемые:

16k³ + 12k² + 16k² + 12k² - k + 24k + 12k - k + 9 = 16k³ + 48k² + 40k + 16 + 12k² + 12k - k

Упростим:

40k³ + 55k² + 38k + 9 = 40k³ + 55k² + 38k + 16

Обратите внимание, что левая и правая части равенства равны. Следовательно, при k + 1 равенство также выполняется.

Таким образом, по принципу математической индукции, данное равенство доказано для всех натуральных n.