Question

Доведідь що при будь-якому натуральному n виконується рівність : 1•2+2•3+3•4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2) 3

Answer 1

$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+...+n(n+1)=1\cdot (1+1)+2\cdot (2+1)+3\cdot (3+1)+\\ \\ \\ +...+n(n+1)=\Big(1^2+2^2+3^2+...+n^2\Big)+\Big(1+2+3+...+n\Big)~\boxed{=}$

В первой скобке это сумма квадратов натуральных чисел, для нее известная формула есть $\displaystyle \sum^{n}_{k=1}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, а вторая скобка это арифметическая прогрессия с первым членом 1 и d = 1

$\boxed{=}~\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{1+n}{2}\cdot n=\dfrac{n(n+1)}{2}\left(\dfrac{2n+1}{3}+1\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot \dfrac{2n+1+3}{3}=\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot \dfrac{2n+4}{3}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Answer 2

Для доведення рівності 1•2 + 2•3 + 3•4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3, скористаємося методом математичної індукції. Індукція - це метод математичного доведення, який базується на перевірці ствердження для початкового значення (зазвичай n=1) та переходу від одного значення до іншого.

Крок 1: Перевірка базового випадку При n = 1, маємо ліву та праву частини рівності:

Ліва частина: 1•2 = 2 Права частина: 1(1+1)(1+2)/3 = 1•2•3/3 = 2

Оскільки ліва частина дорівнює правій, то рівність виконується для n = 1.

Крок 2: Передбачення індукційного припущення Припустимо, що рівність виконується для деякого n = k, тобто:

1•2 + 2•3 + 3•4 + ... + k(k+1) = k(k+1)(k+2)/3

Крок 3: Доведення для (n = k + 1) Розглянемо рівність для n = k + 1:

1•2 + 2•3 + 3•4 + ... + k(k+1) + (k+1)(k+2)

За індукційним припущенням знаємо, що:

1•2 + 2•3 + 3•4 + ... + k(k+1) = k(k+1)(k+2)/3

Тоді можемо підставити це значення в рівність для (n = k + 1):

k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2)

Факторизуємо спільний член (k+1)(k+2):

= (k+1)(k+2) * (k/3 + 1)

= (k+1)(k+2) * (k + 3)/3

Тепер, знайдемо значення правої частини рівності для n = k + 1:

(k + 1)(k + 2)(k + 3)/3

Таким чином, ми довели, що припущення виконується для (n = k + 1), якщо воно виконується для (n = k).

Крок 4: Висновок Ми перевірили базовий випадок (n = 1) і показали, що якщо рівність виконується для деякого значення n = k, то вона також виконується для n = k + 1. З цього випливає, що рівність 1•2 + 2•3 + 3•4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 справді виконується для будь-якого натурального n.