Question

При каких значениях параметров а и в многочлен 12х4-17х2+ах+в будет делиться без остатка на 2х2+х-1?

Answer 1

Ответ:

a=-1; b=4

Объяснение:

при a=-1; b=4

12х^4-17х^2+ах+в будет делиться без остатка на 2х^2+х-1

Answer 2

Для того чтобы многочлен $12x^4 - 17x^2 + ax + b$ делился без остатка на $2x^2 + x - 1$, необходимо и достаточно, чтобы остаток от деления равнялся нулю.

При делении многочленов, остаток можно найти с помощью алгоритма деления многочленов или с помощью системы уравнений, но в данном случае, мы воспользуемся системой уравнений.

При делении $12x^4 - 17x^2 + ax + b$ на $2x^2 + x - 1$ получим уравнение:

$\frac{{12x^4 - 17x^2 + ax + b}}{{2x^2 + x - 1}} = Q(x) + \frac{{R(x)}}{{2x^2 + x - 1}}$

Где $Q(x)$ - это частное, а $R(x)$ - остаток. Поскольку $2x^2 + x - 1$ имеет степень 2, то остаток будет многочленом степени 1 или меньше.

Значит, остаток $R(x)$ имеет вид $r(x) = cx + d$, где $c$ и $d$ - неизвестные коэффициенты.

Теперь мы можем записать систему уравнений:

$$\begin{cases} 12x^4 - 17x^2 + ax + b = Q(x) \cdot (2x^2 + x - 1) + cx + d \\ R(x) = cx + d \end{cases}$$

Мы хотим, чтобы $R(x) = 0$ (т.к. многочлен делится без остатка). Таким образом, у нас получится система уравнений:

$$\begin{cases} 12x^4 - 17x^2 + ax + b = Q(x) \cdot (2x^2 + x - 1) + cx + d \\ cx + d = 0 \end{cases}$$

Теперь подставим второе уравнение в первое:

$12x^4 - 17x^2 + ax + b = Q(x) \cdot (2x^2 + x - 1) + 0$

Уравнение упрощается:

$12x^4 - 17x^2 + ax + b = 2x^2Q(x) + xQ(x) - Q(x) + 0$

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

$12x^4 \quad \rightarrow \quad 2x^2Q(x) \quad \Rightarrow \quad Q(x) = 6$

$-17x^2 \quad \rightarrow \quad xQ(x) \quad \Rightarrow \quad Q(x) = -\frac{{17}}{{2}}$

$ax + b \quad \rightarrow \quad -Q(x) \quad \Rightarrow \quad -Q(x) = ax + b \quad \Rightarrow \quad -\frac{{17}}{{2}} = a$

Таким образом, мы получаем два уравнения:

$Q(x) = 6 \quad \text{(1)}$ $a = -\frac{{17}}{{2}} \quad \text{(2)}$

Условие $Q(x) = 6$ гарантирует нам, что многочлен $12x^4 - 17x^2 + ax + b$ делится без остатка на $2x^2 + x - 1$ при любом значении $x$.

Итак, чтобы многочлен делится без остатка на $2x^2 + x - 1$, необходимо и достаточно, чтобы $a = -\frac{{17}}{{2}}$ и $$ 0 0