Question

Докажите что все положительные корни многочлена x(x+1)(x+2)( x+3) - 1 больше 1/8

Answer 1

Ответ:

Наталье Александровне привет)

Объяснение:

Заметим что функция f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)-1 возрастает при x>0. Если x2>x1>0 то перемножая неравенства x1+k<x2+k по всем k (0;3), получим x1(x1+1)(x1+2)(x1+3)-1<x2(x2+1)(x2+2)(x2+3)-1 , поэтому при положительном x<1/8 получим f(x)<f(1/8) = (((8+1)(16+2)(24+1))/8^4)-1 = 3825/4096 -1 . Данное выражение меньше нуля,следовательно никакое число x(0;1/8)  не является корнем f(x)

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение по индукции.

1. Базовый случай: Подставим x = 0 в многочлен и вычислим его значение: 0(0+1)(0+2)(0+3) - 1 = -1. Заметим, что -1 < 1/8. Таким образом, базовый случай выполняется.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого положительного целого числа k, где k >= 0, выполняется утверждение: многочлен x(x+1)(x+2)(x+3) - 1 > 1/8 при x = k.

3. Индукционный переход: Докажем, что утверждение верно при x = k + 1. Рассмотрим значение многочлена при x = k + 1: (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) - 1. Разложим многочлен: (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) - 1 = (k^2 + 5k + 4)(k^2 + 5k + 6) - 1 = k^4 + 10k^3 + 29k^2 + 30k + 23. Заметим, что каждый член в этом многочлене положителен, так как k^4, 10k^3, 29k^2, 30k и 23 все больше нуля при k >= 0.

Рассмотрим последнюю часть многочлена: 30k + 23. Докажем, что она всегда больше 1/8 при k >= 0. 30k + 23 > 1/8. 30k > 1/8 - 23. 30k > -183/8. k > -183/240. k > -61/80.

Таким образом, мы доказали, что при k > -61/80 многочлен x(x+1)(x+2)(x+3) - 1 > 1/8.

Так как k - целое положительное число, то наименьшее целое положительное значение для k составляет 1.

Следовательно, все положительные корни многочлена x(x+1)(x+2)(x+3) - 1 больше 1/8.