Question

Найти производную: а)lnx/1-x;б)1/x^3-2x^5;в)(х/3-7)^6​

Answer 1

$1)\; \; y=\frac{lnx}{1-x}\\\\y'=\frac{\frac{1}{x}\cdot (1-x)+lnx}{(1-x)^2}\\\\2)\; \; y=\frac{1}{x^3-2x^5}\\\\y'=\frac{-(3x^2-10x^4)}{(x^3-2x^5)^2}\\\\3)\; \; y=(\frac{x}{3}-7)^6\\\\y'=6(\frac{x}{3}-7)^5\cdot \frac{1}{3}=2\, (\frac{x}{3}-7)^5$

Answer 2

а) Чтобы найти производную функции ln(x)/(1-x), воспользуемся правилом дифференцирования частного и правилом дифференцирования логарифма.

Пусть y = ln(x)/(1-x). Тогда мы можем выразить y в виде y = ln(x) * (1-x)^(-1). Затем применим правило производной произведения функций:

y' = [ln(x)]' * (1-x)^(-1) + ln(x) * [(1-x)^(-1)]'.

Для каждого слагаемого посчитаем производную:

[ln(x)]' = 1/x, [(1-x)^(-1)]' = -(1-x)^(-2) * (-1) = (1-x)^(-2).

Подставим значения обратно:

y' = (1/x) * (1-x)^(-1) + ln(x) * (1-x)^(-2).

Таким образом, производная функции ln(x)/(1-x) равна (1/x) * (1-x)^(-1) + ln(x) * (1-x)^(-2).

б) Чтобы найти производную функции 1/(x^3-2x^5), воспользуемся правилом дифференцирования частного.

Пусть y = 1/(x^3-2x^5). Мы можем выразить y в виде y = (x^3-2x^5)^(-1). Применяя правило производной обратной функции, получим:

y' = -(x^3-2x^5)^(-2) * (3x^2 - 10x^4).

Таким образом, производная функции 1/(x^3-2x^5) равна -(x^3-2x^5)^(-2) * (3x^2 - 10x^4).

в) Чтобы найти производную функции (x/3-7)^6, воспользуемся правилом дифференцирования составной функции и правилом дифференцирования степенной функции.

Пусть y = (x/3-7)^6. Применим правило производной составной функции:

y' = 6(x/3-7)^5 * (x/3-7)'.

Теперь вычислим производную внутренней функции (x/3-7):

(x/3-7)' = (1/3)x'.

Поскольку x/3 является линейной функцией, ее производная равна просто 1/3.

Подставим это значение обратно в выражение для y':

y' = 6(x/3-7)^5 * (1/3).

Таким образом, производная функции (x/3-7)^6 равна 6(x/3-7)^5 * (1/3).