Question

Исследуйте на выпуклость,вогнутость и точки перегиба кривую y=x^3-3x

Answer 1

Объяснение:

ДАНО:Y(x) = 1*x³ + (0)*x² +( -3)*x +(0)

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Пересечение с осью OХ.  

Разложим многочлен на множители. Y=(x--1,73)*(x-0)*(x-1,73)

Нули функции: Х₁ =-1,73, Х₂ =0,  Х₃ =1,73

3. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-1,73]U[0;1,73]  

Положительная -Y(x)>0 X∈[-1,73;0]U[1,73;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) =   0

8. Исследование на чётность.  

Y(-x)= - Y(x).  Функция нечётная.  

9. Первая производная.    Y'(x) =  3*x² -3 = 0

Корни Y'(x)=0.     Х₄ =-1    Х₅=1

Производная отрицательна  между корнями - функция убывает.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум - Ymax(X₄=  -1) =2.   Минимум - Ymin(X₅ =  1) =-2

11. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;-1;]U[1;+∞) , убывает - Х∈[-1;1]

12. Вторая производная - Y"(x) = 6* x = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆=0

13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = 0]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = 0; +∞).

14. График в приложении.

Answer 2

Для исследования на выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой y = x^3 - 3x, необходимо проанализировать её производные и вторые производные.

1. Найдем первую производную кривой: y' = 3x^2 - 3

2. Найдем вторую производную кривой: y'' = 6x

Теперь мы можем анализировать эти производные и изучить их значения, чтобы определить характер кривой.

• Выпуклость и вогнутость: Кривая будет выпуклой вверх (выпуклой) в тех областях, где вторая производная y'' положительна, и вогнутой вниз (вогнутой) в тех областях, где y'' отрицательна.

• Точки перегиба: Точки перегиба находятся в тех местах, где y'' = 0 или где вторая производная меняет свой знак.

Теперь рассмотрим каждый из этих аспектов более подробно.

1. Выпуклость и вогнутость: Уравнение y'' = 6x равно нулю при x = 0. Это означает, что кривая может иметь точку перегиба в x = 0.

Проверим значения y'' в других областях:

• Если x < 0, то y'' будет отрицательной, следовательно, кривая будет вогнутой вниз (вогнутой) на интервале (-∞, 0).
• Если x > 0, то y'' будет положительной, что означает, что кривая будет выпуклой вверх (выпуклой) на интервале (0, +∞).

Таким образом, у нас есть точка перегиба в x = 0, и кривая будет вогнутой вниз на интервале (-∞, 0) и выпуклой вверх на интервале (0, +∞).

2. Точки перегиба: Мы уже выяснили, что точка перегиба может быть в x = 0. Чтобы узнать, является ли она точкой перегиба, нужно проверить знак y'' в окрестности этой точки:

• Если y'' меняет знак, то точка будет точкой перегиба.
• Если y'' не меняет знак, то точка не будет точкой перегиба.

Однако, в данном случае, y'' = 6x не меняет знак, поскольку она всегда положительна или равна нулю. Поэтому точка x = 0 не является точкой перегиба.

Итак, резюмируя наше исследование:

• Кривая y = x^3 - 3x является вогнутой вниз (вогнутой) на интервале (-∞, 0) и выпуклой вверх (выпуклой) на интервале (0, +∞).
• У неё есть точка перегиба в x = 0, но кривая не меняет свой характер в этой точке.

Надеюсь, эта информация была полезной! Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.