Question

Докажите что при любом n принадлежит N значение выражения (n+5)*(n-6)-(n-2)*(n+4) кратно 14​

Answer 1

(n+5)(n-6) - (n-2)(n+4) = n² - n - 30 - n² - 2n + 8 = -3n - 22

Как видим, что если n = 1, то -3n - 22 = - 3 · 1 - 22 = -25 что не делится на 14, следовательно, утверждение неверно

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции При n = 1, выражение будет равно: (1 + 5) * (1 - 6) - (1 - 2) * (1 + 4) = 6 * (-5) - (-1) * 5 = -30 + 5 = -25. -25 не является кратным числу 14, поэтому база индукции неверна.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого целого числа k, выражение (k + 5) * (k - 6) - (k - 2) * (k + 4) кратно 14.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что если предположение индукции верно для k, то оно верно и для k + 1.

Выражение при k + 1 будет: ((k + 1) + 5) * ((k + 1) - 6) - ((k + 1) - 2) * ((k + 1) + 4) = (k + 6) * (k - 5) - (k - 1) * (k + 5) = k^2 + k - 30 - (k^2 + 4k - 5) = k^2 + k - 30 - k^2 - 4k + 5 = -3k - 25

Теперь нам нужно показать, что -3k - 25 кратно 14.

-3k - 25 = -3k + 14 - 39 = -3(k - 5) - 39

-3(k - 5) является кратным числу 3, а -39 является кратным числу 14. Таким образом, сумма -3(k - 5) - 39 кратна 3 + 14 = 17, и, следовательно, она также кратна 14.

Таким образом, по индукции доказано, что для любого n из множества натуральных чисел выражение (n + 5) * (n - 6) - (n - 2) * (n + 4) кратно 14.