Question

Задана арифметическая прогрессия. Известно что a8=5\12. Найдите значение суммы: 1) a7+a9 2) a6+a10 3) a5+a11 4) a3+a13

Answer 1

По формуле n-го члена арифметической прогрессии:

                 $a_n=a_1+(n-1)d$

$1)~ a_7+a_9=a_1+6d+a_1+8d=2a_1+14d=2(a_1+7d)=2a_8=2\cdot \dfrac{5}{12}=\dfrac{5}{6}\\ \\ 2)~ a_6+a_{10}=a_1+5d+a_1+9d=2a_1+14d=2(a_1+7d)=2a_8=2\cdot \dfrac{5}{12}=\dfrac{5}{6}$

$3)~ a_5+a_{11}=a_1+4d+a_1+10d=2a_1+14d=2(a_1+7d)=2a_8=2\cdot \dfrac{5}{12}=\dfrac{5}{6}$

$4)~ a_3+a_{13}=a_1+2d+a_1+12d=2a_1+14d=2(a_1+7d)=2a_8=2\cdot \dfrac{5}{12}=\dfrac{5}{6}$

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значение общего члена арифметической прогрессии, используя известное значение a₈=5/12. Затем мы сможем найти значения, указанные в задаче.

Общий член арифметической прогрессии можно выразить следующей формулой:

aₙ = a₁ + (n - 1) * d,

где aₙ - значение n-го члена прогрессии, a₁ - первый член прогрессии, n - номер члена прогрессии, d - разность прогрессии.

Для решения задачи нам также понадобится найти значение разности d. Для этого мы можем использовать формулу разности:

d = (aₙ - a₁) / (n - 1).

Из условия известно, что a₈ = 5/12. Подставим это значение в формулу общего члена:

5/12 = a₁ + (8 - 1) * d.

5/12 = a₁ + 7d.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

1. 5/12 = a₁ + 7d.
2. d = (aₙ - a₁) / (n - 1).

Мы можем решить эту систему для нахождения значений a₁ и d, а затем использовать их для вычисления значений, указанных в задаче.

1. Для нахождения a₇ + a₉, используем формулу общего члена прогрессии:

a₇ = a₁ + (7 - 1) * d, a₇ = a₁ + 6d.

a₉ = a₁ + (9 - 1) * d, a₉ = a₁ + 8d.

Теперь можем записать:

a₇ + a₉ = (a₁ + 6d) + (a₁ + 8d).

2. Для нахождения a₆ + a₁₀, используем ту же формулу общего члена прогрессии:

a₆ = a₁ + (6 - 1) * d, a₆ = a₁ + 5d.

a₁₀ = a₁ + (10 - 1) * d, a₁₀ = a₁ + 9d.

Теперь можем записать:

a₆ + a₁₀ = (a₁ + 5d) + (a₁ + 9d).

3. Для нахождения a₅ + a₁₁:

a₅ = a₁ + (5 - 1) * d, a₅ = a₁ + 4d.

a₁₁ = a₁ + (11 - 1) * d, a₁₁ = a₁ + 10d.

Теперь можем записать:

a₅ + a₁₁ = (a₁ + 4d) + (a₁ + 10d).

4. Для нахождения a₃ + a₁₃:

a₃ = a₁ + (3 - 1) * d, a₃ = a₁ + 2d.

a₁₃ = a₁ + (13 - 1) * d, a₁₃ = a₁ + 12d.

Теперь можем записать:

a₃ + a₁₃ = (a₁ + 2d) + (a₁ + 12d).

Теперь, зная значения a₁ и d, мы можем вычислить значения сумм.

Пожалуйста, уточните значения a₁ и d для продолжения расчетов.