Question

Исследуйте функцию F(x)=x³-3x+3

Answer 1

ДАНО:Y(x) =x³  -3*x +3

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Пересечение с осью OХ.  

y =0,   x1 = - 2.1038 - без комментариев - один ноль.

6. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: x = (-∞;x1).

Положительна: х = (х1;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) =   3

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

9. Первая производная.    Y'(x) =  3*x² -3 = 0

Корни Y'(x)=0.     Х₄ = -1    Х₅= 1

Производная отрицательна  между корнями - функция убывает.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум - Ymax(X₄= -1) = 5.   Минимум - Ymin(X₅ = 1) = 1

11. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;-1;]U[1;+∞) , убывает - Х∈[-1;1]

12. Вторая производная - Y"(x) = 6* x = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆=0

13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = 0]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = 0; +∞).

14. График в приложении.

Второй рисунок для описания таких функций.

Answer 2

Давайте исследуем функцию F(x) = x³ - 3x + 3.

1. Найдем производную функции F(x): F'(x) = 3x² - 3.

2. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 3x² - 3 = 0. Поделим обе части уравнения на 3: x² - 1 = 0. Факторизуем: (x - 1)(x + 1) = 0. Из этого следует, что x = 1 или x = -1.

3. Для определения типа экстремума возьмем вторую производную: F''(x) = 6x.

4. Определим знак второй производной в окрестности точек x = 1 и x = -1: F''(1) = 6(1) = 6 > 0. F''(-1) = 6(-1) = -6 < 0.

5. Из знака второй производной можно сделать вывод о типе экстремума:

• При x = 1, функция имеет локальный минимум.
• При x = -1, функция имеет локальный максимум.

6. Найдем значение функции в найденных точках экстремума: F(1) = 1³ - 3(1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1. F(-1) = (-1)³ - 3(-1) + 3 = -1 + 3 + 3 = 5.

7. Исследуем функцию на наличие точек перегиба, найдя значения x, при которых F''(x) = 0: 6x = 0. x = 0.

8. Определим знак второй производной в окрестности x = 0: F''(0) = 6(0) = 0.

9. Знак второй производной не изменяется, поэтому точка x = 0 не является точкой перегиба.

10. Исследуем поведение функции в пределах отрицательной и положительной бесконечностей:

• При x → -∞, функция F(x) стремится к -∞.
• При x → +∞, функция F(x) стремится к +∞.

11. Построим график функции F(x):

luaCopy code
    ^
    |
 10 +                   o
    |                 o
    |
  5 +         o
    |      o
    |
  0 + o
    +------------------------------->
    -5             o
                  o
  -10+             o
    |
    |

В итоге, функция F(x) = x³ - 3x + 3 имеет локальный минимум при x = 1, локальный максимум при x = -1, а также стремится к -∞ при x → -∞ и к +∞ при x → +∞. Точка x = 0 не является точкой перегиба.